第八章微分方程初步

1第八章微分方程初步学习目的和要求学习本章，要求读者了解微分方程的基本概念，掌握一阶微分方程和常系数二阶微分方程的求解方法，并了解运用微分方程分析经济问题．第一节微分方程的一般概念1．微分方程含有未知函数的导数(或微分)的方程叫做微分方程．微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数．若微分方程中只含有一阶导数，则称为一阶微分方程．2．微分方程的解亦即找出这样的函数，将其代人微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解．微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解利用附加条件确定了通解中的任意常数，便可得到微分方程满足该条件的特解，这种附加条件称为微分方程的定解条件.第二节一阶微分方程1．可分离变量的一阶微分方程若微分方程经过适当变换，可使变量分离，此时可在方程两端分别对所含变量进行积分，就可求得微分方程的通解，即化为2例如：.所以即将初始值代人得，得特解为2．一阶线性微分方程微分方程称为一阶线性微分方程.若则为齐次方程，否则，称为非齐次方程．(1)齐次方程的解：(2)非齐次方程的解：3．可降阶的高阶微分方程3(1)方程其右端不显含未知函数则原方程化为一阶方程从而可得(2)方程其右端不显含自变量x，则由于可将原方程化为解该一阶方程，设其通解为则原方程的解为第三节常系数二阶线性微分方程1．常系数二阶线性齐次方程定理1若是常系数二阶线性齐次方程的两个特解，且不等于常数，则为其通解，为任意常数．求常系数二阶线性齐次方程的特解可通过求解其相应的特征方程的根而求得，其结果见表1．2．常系数二阶线性非齐次方程4定理2若是非齐次方程的一个特解，而是相应的齐次方程的通解，则其和式为非齐次方程的通解．对一些特殊的右端项，其特解形式如表2所示．第四节微分方程在经济学中的某些应用1．增长律5设为现时值(如销售额)，为饱和水平，若增长速度与成正比，与成正比，则解之可得这里为任意常数，此曲线称为逻辑曲线.2．市场价格动态学设某商品的供求函数如下：又设任意时刻价格变化率与该时刻的超额需求成正比，故满足一阶方程：为调节系数．代人得即解得其中，第八章微分方程初步6例1．微分方程的阶是()A.1B.2C.3D.4解：由于微分方程的阶是指微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，这里最高是y因此，所给方程是二阶微分方程，故应选（B）例2．方程满足初始条件的特解是()A.B.C.D.解：四个选择支中，满足的是（A）（B）和（C），因此可将（D）排除在外。对（A）代入原方程，等号不成立，对（B）代入原方程，等号成立，即是原方程满足的特解。故应选（B）例3．已知微分方程。（1）验证（C为任意常数）是该方程的通解；（2）求出方程满足初始条件的特解。解：（1）由于，所以，将两式代入原方程，得，两端恒等，根据微分方程解的定义知为原方程的解。又由于原方程是一阶微分方程，中含有一个任意常数C，故是原方程的通解。（2）将代入通解，得C=2，因而是原方程满足初始条件的特解。7例4．求满足初始条件y（0）=0的特解。解：易见，所给方程为可分离变量的方程，分离变量后得两端积分得记，注意到也是方程的解，令C为任意常数，则所给方程的通解为。由初始条件y（0）=0，代入通解中得C=1，于是所求特解为。注意为了运算方便，可将两端积分后方程式中的ln|y+1|写成ln(y+1)，只要记住最后得到的任意常数可正可负即可。另外，也可以将式中的任意常数写为lnC，最终C是任意常数。例5．求微分方程的通解。解：原方程可改写成它是一个齐次方程。令即y=xu，从而代入原方程得整理得可分离变量的方程两端积分，得ln(u+5)=lnx+lnc，即u+5=Cx，以代入，即得为原方程的通解。注意对于齐次方程，我们是用变量代换将其变换为可分离变量的方程然后求解的。例6．求微分方程的通解。8解法1：将原方程变形，得为一阶线性非齐次方程，用公式法求解。此处有为所求通解。解法2：用常数变易法，方程相应的一阶线性齐次方程为分离变量得两边积分一阶线性齐次方程通解为用常数变易法，把C改成设原一阶线性非齐次方程的解为9那么代入原方程积分u（x）=-cosx+c.因此，一阶线性非齐次方程的通解为.解法3：将原方程变形为也就是即有xy=-cosx+C，所以，原方程的通解为.注意：这里给出了三种解法，建议考生熟练掌握第一种解法，比较简洁，操作性强。例7．求微分方程满足初始条件的特解.解：将原方程变形为是一阶线性非齐方程，,用公式法，10因此这是一阶线性非齐方程的通解。将代入，得c=1-e，故所求特解为注意，这里用直接代公式的方法解方程，有兴趣的考生可以参照上例，用其他两种方法求解。例8．求微分方程满足的特解。解：将原方程变形为它是一个右端不显含x的可降阶方程。令代入原方程得先分离变量再两端积分，得。将初始条件代入上式，有.所以，，结合条件可得，先分离变量再积分，得11，由代入上式解得。于是，原方程的特解为。注意：这是二阶微分方程的问题，为使计算简化，在解题过程中及时利用初始条件确定了任意常数的值，考生在今后解题过程中也要注意应用这种方法。例9．求下列二阶常系数微分方程的解。解：（1）该方程的特征方程为其特征根为。所以，该方程的通解为。（2）该方程的特征方程为其特征根为。所以，该方程的通解为。（3）该方程的特征方程为其特征根为。所以，该方程的通解为。（4）该方程的特征方程为其特征根为一对共轭复根。所以，该方程的通解是。12（5）该方程的特征方程为有一对共轭复根。所以，该方程的通解为。例10．设有微分方程，试根据下列不同的f(x)，设出其相应特解的形式。解：方程对应的齐次方程的特征方程为其特征根为。（1）由于λ=2是特征方程的单根，n=1，故应设特解为（2）由于λ=1也是特征方程的单根，n=3，故应设特解为（3）由于λ=3不是特征方程的根，n=3，故应设特解为（4）由于λ=0不是特征方程的根，n=2，故应设特解为例11．设有微分方程，试根据下列不同的f(x)，设出其相应特解的形式。13解：方程对应的齐次方程的特征方程为有两个相同的实根。(1)由于λ=3也是特征方程的重根，n=1，故应设特解为而由于λ=2、5、0均不是特征方程的根，类似于上例，应设特解为例12．设有微分方程，试根据下列不同的f(x)，设出其相应特解的形式。解：与非齐次方程对应的齐次方程的特征方程为该方程有一对共轭复根。（1）由于λ=1不是特征方程的根，n=0，故应设特解为14（2）由于λ=2i不是特征方程的根，n=0，故应设特解为（3）由于λ=2+3i是特征方程的单根，n=0，故应设特解为（4）由于λ=1+3i不是特征方程的根，n=1，故应设特解为。第八章微分方程初步单元测试一、选择题1、微分方程的阶数是()A、3B、5C、2D、42、下列函数中为微分方程xdx+ydy=0通解的是()A、x+y=cB、C、cx+y=0D、3、按照微分方程通解定义，的通解是()A、B、C、D、(其中C1,C2是任意常数)4、微分方程的通解是()15A、B、C、D、5、下列微分方程中可分离变量的是()A、B、C、D、6、微分方程满足初始条件y（0）=1的特解为()A、B、C、D、7、在下列函数中，哪个是微分方程的解()A、B、C、D、8、微分方程满足的特解是()A、B、C、D、9、微分方程2ydy-dx=0的通解为()A、B、C、D、10、方程的通解为y=()A、B、c+xC、D、cx11、微分方程cosydy=sinxdx的通解是()A、sinx+cosy=cB、cosx+siny=cC、cosx-siny=cD、cosy-sinx=c1612、微分方程的通解是()A、arctanx+arctany=cB、tanx+tany=cC、lnx+lny=cD、cotx+coty=c13、方程的通解是()A、B、C、D、14、微分方程的通解为()A、B、C、D、15、微分方程的通解是()A、B、C、D、二、计算题(一）1、求微分方程的通解。解：将微分方程分离变量得两端积分得故通解为（C为任意常数）2、求微分方程满足初始条件的特解。17解：将原方程写为，，即两端积分得故通解为由条件，得C=2故所求特解为.3、求微分方程满足条件的特解。解：分离变量得两端积分即以代入求得C=于是所求特解为4、求解微分方程解：原方程即18通解=5、求微分方程的通解解：由一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得===（c为任意常数）