第八章玻色统计和费米统计

第8章玻色统计和费米统计1.教学内容（1）热力学量的统计表达式；（2）弱简并玻色气体和费米气体；（3）光子气体；（4）玻色-爱因斯坦凝聚；（5）金属中的自由电子气体；（6）简并理想费米气体简例；2.本章重难点（1）本章重点是热力学量的统计表达式、光子气体；（3）本章难点是玻色-爱因斯坦凝聚、金属中的自由电子气体。3.例题例题1铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2Ak.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2/3T成正比.证明:在体积V中,ω到ω+dω的频率范围内准粒子的量子态数为dd4d)(2/123BpphVg,推导上式时,用到关系kp.这里B为常数.由于准粒子数不守恒,玻色分布中的0.系统的内能为mmeBgeE002/3d1d)(1,考虑到态密度在高频时发散,需引入截止频率m.但在低温下1,在积分中可令m.设x,则有2/502/32/5d1TxexCTEx,其中,C为常数.易得2/3TTECVV.例题2根据热力学公式TTCSVd及VVTEC,求光子气体的熵.解:由(7.4.6),可得光子气的内能所以VThckE43345158.VVTEC=VThck333451532,TVVThckTVThckTTCS033345233454532d1532d.例题3试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率.解:在体积V中,速率vvvd范围内,考虑自旋时电子的态密度为2338)(vmhVvg,绝对零度时,费米函数为FF,0,1vvvvf,电子的平均速率mvvvvvvvvfvgvfvvgvFFF/24343ddd)(d)(00203,4.课外习题及习题指导（见附件）5．本章测试题及其答案5．1在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp,其中c为光速.试求自由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压.解:在体积V中,到+d的能量范围内电子的量子态数为d8d8d)(23323chVpphVg.绝对零度时,费米函数为00,0,1f.总电子数满足00303323338d8d)(chVchVfgN,可求出费米能量hcVN3/1083.电子气的内能00040333334348d8d)(NchVchVfgE.气体的简并压043VNVEpd.5.2试根普郎克公式求平衡辐射内能密度按波长的分布：185kThcedhcdu并据此证明，使辐射内能密度取极大的波长m满足方程：（kThcxm/）55xex这个方程的数值解为9651.4x。因此khcTm9651.4/，m温度增加向短波方向移动解证：decVdTUkT1),(/3322/2,/2/;;dcdckckPcP代入普郎可公式得：1)/8()/2(18),(/52/233223kThckTcedhcdceccVTu求max/),(Tu；只要令0ddu即可，（略）5.3试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率v。解证：费米分布122221233edmmhVvN221mv1222021233edmmhV11122221233xxedxexdxmmhV)1ln(1122221233xxeexdxmmhV)1ln()1ln(2222221233kTkTkTekTeeTkmmhV令0T则：01lnlim2kTeT01lnlim2kTekT从而0222221233mmhVvN将3422434VNmvN代入v得出：043pmv5.4假设自由电子在二维平面上运动，密度为n。试求0K时二维电子气体的费米气体的费米能量，内能和简并度。解证：2hdpsdpdnyx；dmshspdpddD22222220已考虑了自旋，得2msdD根据电子费米分布：NedmskT102令xkTnSNeemkTekTdxmskTkTxkT1ln1220;0TTnkmkTeemkTkTkT)0(1ln22mnhmn4022（2）由于D均匀，故每电子021021NNEU（3）2222222222122121yxyxyxnnSmnnLmppmlyxSnnSSmS12121222于是，SUSaPl1202000nSNSUP5.5试根据热力学公式dTTCSV及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。解证：根据式（8.5.19）022kTNkCV020222kTNkdTkNkdTTCSV6．考试要求（1）理解热力学量的统计表达式和玻色-爱因斯坦凝聚，掌握玻色气体和费米气体的热力学量的统计表达式，（2）会利用配分函数求解热力学量。本章考试出现的形式为证明题或计算题。（3）