第10章工程数值计算方法实验指导

1第10章工程数值计算方法实验指导10.1引言数值计算主要用于解决工程中常见的基本数学问题，研究其相关的数值解法，包含了线性方程组、非线性方程组的解法，矩阵求逆、数值逼近、数值微积分、常微分方程及偏微分方程的数值解法等。数值计算的基本理论和研究方法建立在数学建模的基础上，与计算机科学密切相关。采用计算机解决这些问题的主要步骤是：分析实际问题、建立数学模型、设计算法、编写程序代码并上机实现。本章精选前面章节中重点内容组成了7个实验项目，要求学生上机实现各个实验项目并编写实验报告。实验一线性方程组的直接解——列主元消去法解线性方程组；实验二线性方程组的迭代解——雅可比法、高斯—赛德尔迭代法解线性方程组；实验三非线性方程的近似解——二分法、牛顿法求非线性方程的根；实验四插值问题——拉格朗日插值、牛顿插值；实验五曲线拟合问题——最小二乘法；实验六数值积分——复化辛甫生公式；实验七求解常微分方程的初值问题——改进欧拉方法、四阶龙格库塔方法。210.2实验一线性方程组的直接解——列主元消去法解线性方程组一、实验目的掌握列主元消去法解线性方程组的理论。二、实验环境PC机一台，C语言、MATLAB任选。三、实验内容用Gauss列主元消去法求解方程组1231231230.0120.550.525540.59xxxxxxxxx。四、实验原理Gauss列主元消去法第一步：消元过程对于AXB,将(|)AB进行变换为)~|~(BA，其中A%是上三角矩阵。即1112111211212222221210100nnnnnnnnnnnnaaabaabaaababaaababLLLLMMMMMMMMLL(1)选列主元选取第k列中绝对值最大元素iknikamax(1,2,,)knL作为主元。(2)换行,1,,kjijkiaajknbbL(3)归一化/,1,,/kjkkkjkkkkaaajknbabL(4)消元3,1,,;1,,,1,,ijikkjijiikkiaaaaiknjknbabbiknLLL第二步：回代过程由)~|~(BA解出11,,,nnxxxL。1/,1,,2,1nnnnnkkjjkjkbaxbaxxknL五、实验步骤1．要求上机实验前先编写出程序代码；2．编辑录入程序；3．调试程序并记录调试过程中出现的问题并修改程序；4．记录运行时输入数据和输出结果；5．撰写实验报告。六、思考题进一步思考全主元消去法的实现步骤。七、参考代码#includestdio.h#includemath.h#definen3main(){inti,j,k;intmi;floatmv,tmp;floata[n][n]={{0.01,2,-0.5},{-1,-0.5,2},{5,-4,0.5}};floatb[n]={-5,5,9},x[n];for(k=0;kn-1;k++){mi=k;mv=fabs(a[k][k]);for(i=k+1;in;i++)if(fabs(a[i][k])mv){mi=i;mv=fabs(a[i][k]);}if(mik)4{tmp=b[k];b[k]=b[mi];b[mi]=tmp;for(j=k;jn;j++){tmp=a[k][j];a[k][j]=a[mi][j];a[mi][j]=tmp;}}for(i=k+1;in;i++){tmp=a[i][k]/a[k][k];b[i]=b[i]-b[k]*tmp;for(j=k+1;jn;j++)a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*tmp;}}x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i=0;i--){x[i]=b[i];for(j=i+1;jn;j++)x[i]=x[i]-a[i][j]*x[j];x[i]=x[i]/a[i][i];}printf(\nTheresultis:);for(i=0;in;i++)printf(\nx%d=%4.2f,i,x[i]);}程序运行后，输出结果如下10.00x22.00x32.00x510.3实验二线性方程组的迭代解——雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法解线性方程组一、实验目的掌握雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组的理论。二、实验环境PC机一台，C语言、MATLAB任选。三、实验内容分别采用雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组12312312352828321361xxxxxxxxx。四、实验原理1．雅可比迭代法设方程组Axb的系数矩阵的对角线元素0(1,2,,)iiainL，M为迭代次数容许的最大值，为容许误差。(1)取初始向量(0)(0)(0)12(,,,)TnxxxxL，令0k。(2)对1,2,,inL，计算1()11()nkkiiijjjiijixbaxa(3)如果(1)()1maxkkiiinxx并且kM，则输出方程的解(1)kx，结束；如果kM，则说明方程组不收敛，输出方程组无解，终止程序；否则1kk，转(2)。2．高斯-赛德尔迭代法(1)判断线性方程组是否主对角占优，即判断是否满足1,(1,2,,)nijiijjiaainL。(2)取初始向量(0)(0)(0)12(,,,)TnxxxxL，令0k。(3)直接分离ix，1()/,(1,2,,)niiijjiijxdbxainL，并建立高斯-赛德尔迭代格式61(1)(1)()11()/,(1,2,,)inkkkiiijjijjiijjixdaxaxainL五、实验步骤1．要求上机实验前先编写出程序代码；2．编辑录入程序；3．调试程序并记录调试过程中出现的问题并修改程序；4．记录运行时输入数据和输出结果；5．撰写实验报告。六、实验注意事项雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法解线性方程组应注意迭代初值的选取和迭代终止的条件。七、思考题为节省计算时间，提高精度，如何选择合适的数据结构使得迭代收敛的速度更快？八、参考代码1．雅可比迭代法#includestdio.h#includeconio.h#includemalloc.h#includemath.h#defineEPS1e-6#defineMAX100float*Jacobi(floata[3][4],intn){float*x,*y,epsilon,s;inti,j,k=0;x=(float*)malloc(n*sizeof(float));y=(float*)malloc(n*sizeof(float));for(i=0;in;i++)x[i]=0;while(1){epsilon=0;k++;for(i=0;in;i++){s=0;for(j=0;jn;j++){if(j==i)7continue;s+=a[i][j]*x[j];}y[i]=(a[i][n]-s)/a[i][i];epsilon+=fabs(y[i]-x[i]);}if(epsilonEPS){printf(迭代次数为：%d\n,k);returnx;if(k=MAX)printf(TheMethodisdisconvergent!\n);returny;}for(i=0;in;i++)x[i]=y[i];}}main(){inti;floata[3][4]={5,2,1,8,2,8,-3,21,1,-3,-6,1};float*x;x=(float*)malloc(3*sizeof(float));x=Jacobi(a,3);for(i=0;i3;i++){printf(x[%d]=%f\n,i,x[i]);}getch();}程序运行后，输出结果如下[0]1.000000x[1]2.000000x[2]1.000000x2．高斯赛德尔迭代法#includestdio.h#includemath.h#defineMAX100#definen3#defineexp0.005main()8{inti,j,k,m;floattemp,s;floata[n][n]={{5,2,1},{2,8,-3},{1,-3,-6}};floatstaticb[n]={8,21,1};floatstaticx[n]={0,0,0},B[n][n],g[n];for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){B[i][j]=-a[i][j]/a[i][i];g[i]=b[i]/a[i][i];}for(i=0;in;i++)B[i][i]=0;m=0;do{temp=0;for(i=0;in;i++){s=x[i];x[i]=g[i];for(j=0;jn;j++)x[i]=x[i]+B[i][j]*x[j];if(fabs(x[i]-s)temp)temp=fabs(x[i]-s);}m++;printf(\n%dthresultis:,m);printf(\nx0=%7.5f,x1=%7.5f,x2=%7.5f,x[0],x[1],x[2]);printf(\ntemp=%f,temp);}while(temp=exp);printf(\n\nThelastresultis:);for(i=0;in;i++)printf(\nx[%d]=%7.5f,i,x[i]);}输出结果如下[0]0.99776x[1]1.99187x[2]0.99631x910.4实验三非线性方程的近似解——二分法、牛顿法求非线性方程的根一、实验目的掌握二分法与牛顿迭代法求非线性方程组的根的理论。二、实验环境PC机一台，C语言、MATLAB任选。三、实验内容用二分法计算3()1fxxx在[5,2]上的单根，要求精确到小数点后4位。用牛顿迭代法计算32()34560fxxxx的近似解，要求其误差不超过31.010。四、实验原理二分法通过将含根区间逐步二分，从而将根的区间缩小到容许误差范围内；牛顿法通过迭代逐步求解出近似解。1．二分法设()fx为连续函数，方程()0fx的隔根区间为[,]ab，设()0fa，()0fb。首先将区间[,]ab二分得中点()/2ab，计算()fx在中点的函数值()2abf。若()02abf，则*2abx就是方程()0fx的根；否则，若()02abf，则隔根区间变为,2abb。若()02abf，则方程的有根区间变为,2aba，将新的隔根区间记为11,ab。再将11,ab二分，重复上述过程，就得到一系列隔根区间11[,][,][,]nnabababLL并有()()0nnfafb，*(,)nnxab，2nnnbaba。当n时，[,]nnab趋近于零，2nnnabx收敛于点x，此点即为方程()0fx的根。2．牛顿法设0x是方程()0fx隔根区间中的一个初始值，把()fx在0x点附近展开成泰勒级数'''200000()()()()()()2!fxfxfxxxfxxxL10取其线性部分作为非线性方程()0fx的近似方程，则有'000()()()()fxfxxxfx设'0()0fx，则其解为010'0()()fxxxfx再把()fx在1x附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作为()0fx的近似方程。若'1()0fx，则得121'1()()fxxxfx由此得到牛顿迭代法的一个迭代序列1'()()nnnnfxxxfx(0,1,2,)nL五、实验步骤1．要求上机实验前先编写出程序代码；2．编辑录入程序；3．调试程序并记录调试过程中出现的问题并修改程序；4．记录运行时输入数据和输出结果；5．撰写实验报告。六、实验注意事项二分