第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION3

§3仿射坐标系一、仿射坐标系与度量系数[仿射坐标]在三维欧氏空间中，若取一个直角坐标系，其坐标单位矢量为i，j，k时，则空间中的矢量a可表示为a＝axi＋ayj＋azk一般地，在空间中给定了三个不共面的矢量e1，e2，e3，则空间中任一矢量a可按这三个矢量分解，令其系数为a1,a2,a3(这里1,2,3不是指数，而是上标)则a可表示为a＝a1e1＋a2e2＋a3e3或简计作a＝aieia＝a1,a2,a3＝{ai}这种坐标系e1,e2,e3称为仿射坐标系，e1,e2,e3称为坐标矢量，a1,a2,a3称为矢量a的仿射坐标.[欧氏空间中度量系数]当矢量a写成上面的形式时，则它的长度a由(a)2＝(aiei)(ajej)＝(eiej)aiaj给出.令eiej＝gij(＝gji)(i，j＝1,2,3)则称gij为仿射坐标系的度量系数.1矢量a的长度由(a)2＝gijaiaj计算.2两个矢量a＝aiei，b＝bjej的夹角由cos＝gabgaagbbijijijijijij计算.3因为gijaiaj是正定二次型，所以由gij所作的行列式欧几里得空间简称欧氏空间，它的定义见第二十一章，§4.这种缩写是张量算法中的写法.如果每个指标在乘积中出现一次，就表示它取一切可能的值；如果每个指标在乘积中出现两次，就表示取一切可能的值，而后再把各项相加，求其总和.这种规定称为爱因斯坦约定.这是张量写法.gggggggggg1112132122233132330混合积(e１,e２,e３)2=332313322212312111eeeeeeeeeeeeeeeeee=g(e１,e２,e３)=g[克罗内克尔符号]对称矩阵ggggggggggij111213212223313233的逆矩阵用333231232221131211ggggggggggij来表示.由逆矩阵的性质，有gij=gji和gikgkj=ji式中ji=10,,ijij称为克罗内克尔符号.[互易矢量]利用这个gij规定ei=gijej因而有ej=gijeieiek=(gijej)ek=gij(ejek)=gijgjk=kieiej=(gilel)(gjmem)=gilgjm(elem)=gilgjmglm=gillj=gij对e１,e２,e３，可以得到e1=1g(e2×e3),e2=1g(e3×e1),e3=1g(e1×e2)e1,e2,e3称为关于坐标矢量e1,e2,e3的互易矢量.gij称为互易矢量的仿射坐标系中的度量系数.二、逆变矢量与协变矢量[逆变矢量与协变矢量]如果矢量a在坐标系e１,e２,e３中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=aiei给出，则a1,a2,a3称为矢量a的逆变坐标(或称为抗变坐标)，而矢量ai称为逆变矢量(或称为抗变矢量).如果关于坐标矢量e１,e２,e３的互易矢量为e1,e2,e3，矢量a在坐标系e1,e2,e3中的仿射坐标a1,a2,a3是由公式a＝a1e1＋a2e2＋a3e3=ajej给出，则a1,a2,a3称为矢量a的协变坐标，而矢量aj称为协变矢量.在直角坐标系中，矢量的协变坐标与逆变坐标是一致的.一般地，在仿射坐标系中协变坐标与逆变坐标有关系ai=a·ei=(ajej)·ei=aj(ej·ei)=ajgji[逆变矢量与协变矢量的标量积]如果a,b为两个矢量，a1,a2,a3;b1,b2,b3分别为它们的逆变坐标，则a·b=gijaibj如果a,b为两个矢量，a1,a2,a3;b1,b2,b3分别为它们的协变坐标，则a·b=gijaiaj如果a的逆变坐标为a1,a2,a3,b的协变坐标为b1,b2,b3,则a·b=aibi三、n维空间[n维空间的定义]如果空间中的点与n个独立实数x1，···，xn的有序组的值建立一对一且双方连续的对应，那末，以这样的点作为元素的集合称为n维实数空间(简称n维空间)，记作Rn.所以空间中一点M对应于一组有序数x１，···，xn；反之，一组有序数x１，···，xn对应于一点M.这样的一组有序数(x１，···，xn)称为n维空间Rn中一点M的坐标.[n维空间中的矢量]在n维空间Rn中取一定点O，坐标为(0,0,···,0)，另外一点M(x1，x2，···，xn)，r为对应于两点O和M的矢量，称为点M的矢径.假定在Rn中可以引进仿射坐标系，使得矢径r与点M(xi)的坐标的关系是r＝x1e1＋···＋xnen＝xiei式中e1，···，en是Rn中n个线性无关的矢量，这种坐标系e1,···,en称为Rn中的仿射坐n维实数空间另一定义见第二十一章，§3.标系，x1，···，xn称为Rn中矢量r的仿射坐标.在三维空间中所讨论的许多结果，在n维空间中都成立，只要把公式中所出现的指标认为从1到n就行了.[逆变矢量与协变矢量]在n维空间Rn中考虑一个任意坐标变换xxxxiin1,,in12,,,(1)其中函数xi关于xi有连续的各阶导数(讨论中所需要的阶数)，变换的雅可比式不等于零：0,,,,,,2121nnxxxxxx因而(1)有逆变换xxxxxiin12,,,设a1,···,an为xi的函数，如果在坐标变换下，它们都按坐标微分一样地变换，即iiiiaxxa则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的逆变坐标，ai为坐标系xi中同一个矢量的逆变坐标.称矢量ai为逆变矢量.如果ai按iiiiaxxa的形式变换，则称ai为坐标系(xi)中一个矢量的协变坐标，称ai为坐标系xi中同一矢量的协变坐标，称矢量ai为协变矢量.逆变矢量和协变矢量的变换系数是不同的，但是它们之间有关系式ijjkkixxxx式中ji为克罗内克尔符号.例标量场的梯度是一个协变矢量.设n维空间的标量场为xxxn12,,,它沿一无限小位移dxi上的变更iixdd这里用xi表示同一点M（xi）在另一个坐标系中的坐标，就是说xi和xi表示同一点.用同一个核文字(如x)表示同一个对象，用指标上加一撇表示不同的坐标系（如xxii,等），这种记法叫核是一个在坐标变换下的不变量，式中iix是的梯度的分量.因此在坐标变换下，iiiiiiiixxxxxddd.则iiiixx.所以i是一个协变矢量.标法.