第八章空间解析几何与向量代数+单元自测题答案

1第八章空间解析几何与向量代数单元自测题答案一、填空题1．若4a，2b，24ba，则ba24;2．设向量2aijk，42bijk，则当__-10____时，a与b垂直；当___2___时，a与b平行;3．方程222231xyz表示以原点为中心的椭球曲面;4．直线.0432,01zyxzyx的对称式方程为1544413yzx及参数式方程为453414tztytx;5．旋转曲面222144yzx是由曲线2222z1(1)44yxx或绕x轴旋转一周而得的;6．直线35xyz与平面4122010xyz的位置关系为相交;7．直线531123zkykx与直线22531kzyx相互垂直，则k348．过点)3,2,1(M且与yoz坐标面平行的平面方程为1x;9．点)1,2,1(到平面01022zyx的距离为1;10．平面03326zyx与xoy面夹角为3.二、计算题21.已知三角形的三个顶点为1,2,3,1,1,1,0,0,5ABC，试证ABC为直角三角形，并求角B.解：2,1,2,1,2,2,1,1,4ABACBC2240ABACABAC，所以ABC为直角三角形，92cos24332ABBCBBABBC2.试求通过点2,3,4，且与y轴垂直相交的直线方程.解：设所求直线与y轴交点为0,,0a，则其方向向量为2,3,4a，因为此向量与y轴垂直，所以3a，所求直线方程为24243xzy3.已知直线1210:320xyLxz和2112:123xyzL，证明：12//LL，并求12,LL确定的平面方程。解：1L的方向向量为2101,2,3301ijk，2L得方向向量为1,2,3，且点21,1,2M在2L上但不在1L上。所以12//LL。再在1L上取点10,1,2M，则向量12(1,2,0)MM3所求平面法向量为1206,3,0123ijk所求平面方程为210xy。4.求点)0,2,1(在平面012zyx上的投影.解：过点)0,2,1(且与平面012zyx垂直的直线方程为：其参数方程为tztytx221代入平面方程012zyx得32t故投影为)32,32,35(5.求过直线1223xzy与平面150xyz的交点，且与平面23450xyz垂直的直线方程.解：设1223xzyt则其参数方程为2231xtytzt代入平面150xyz得2t故交点为(4,4,7).由已经条件所求直线与平面23450xyz垂直，则所求直线方程为：447234xyz46.已知直线:L5040xyzxz与平面:4890xyz，求直线L与平面的夹角.解：直线L的方向向量为1515,2,5101ijk平面的法向量为1,4,8设所求直线L与平面的夹角为则58406sin65481所以6arcsin67.求过点203（，，）且与直线2470:35210xyzLxyz垂直的平面方程.解：直线L的方向向量为12416,14,11352ijk则所求的平面方程为16(2)1411(3)0xyz即161411650xyz8.求过点)2,1,3(M且通过12354zyx的平面方程.解：在直线12354zyx上取一点)0,3,4(P)2,4,1(MP，)22,9,8(125241)1,2,5()2,41(kjin5所求平面方程为0)2(22)1(9)3(8zyx即0592298zyx9.求过点），，（420且与两平面12zx和23zy平行的直线方程.解：直线的方向向量为)1,3,2(310201kjis故所直线方程为14322zyx10.已知直线13021:1zyxL，直线11122:2zyxL，求过1L且平行2L的平面方程.解：1,3,1112101kjin在1L上任取一点)3,2,1(，故所求平面方程为0)3()2(3)1(zyx即11.求点)6,1,4(M关于直线11321:zyxL的对称点.解：直线11321:zyxL的参数方程为1312tztytx…….(*)过点)6,1,4(M与且与直线:L垂直的平面方程为0)6()1(3)4(2zyx…….(**)将(*)代入(**)0)61()13(3)412(2ttt1t6即得垂足为)23,3(0M，由226321324zyx得252zyx12.求出旋转曲面228zxy与平面2zy所围图形在xOy坐标面上投影区域D的图形.解：22(1)90xyz13.已知点(0,0,0)O与点(0,1,1)A，且线段OA绕z轴旋转一周所成的旋转曲面为，画出曲面及两平面0z和1z所围成立体.解：略14.画出圆锥面22zxy及旋转抛物面222zxy所围成立体的图形.解：略