第八章题目

第八章练习题1.设fxyxy(,)22，则fy(,)01=。（02）12.设ufyz，其中ufyxu,22为可微函数，则yzxxzy。(07)3．设vufz,可微，其中yxvxyu,，dz。（07）dyvfyxufxdxvfyufy)()1(24．曲线2244xyzy在点（2，4，5）处的切线与x轴所夹锐角。（07）45．已知,),(22yxxyyxf则),(yxf；（04）222)1()1(yyx6．设)ln(yxz，则yzyxzx；（04）1/27．设22yxz，则yzyxzx；（06）z或22xy8．已知22),(yxxyyxf，则),(yxf；（05）yyx1)1(29．设),(),,,(yxuyxufz，则dz；（05）yyyuxxxudffdff)()(10、已知yxyxyxfarcsin)1(),(，则)1,(xfx（03）11、函数在一点处两个偏导数存在是函数在这一点可微的条件。（03）12、22yxz在（1，2）点沿（1，2）到（2，2+3）的方向导数为。（03）13、函数yzxu，则du。（06）1lnlnyzyzyzduyzxdxzxxdyyxxdz14.函数0,00,),(222222yxyxyxxyyxf在原点（0，0）处间断，是因为：[](07)B(A)函数),(yxf在原点无定义；(B)函数),(yxf在原点无极限；(C)在原点极限存在，但该点无定义；(D)在原点极限存在，但不等于它的函数值。15.曲面3xyzez在点（2，1，0）处的切平面方程是：[](07)(A)042yx；(B)042zyx；(C)042yx；(D)052yx。16.函数zfxy(,)在点(,)xy00处连续是它在该点偏导数存在的：（）（02）答：(D)(A)必要而非充分条件；(B)充分而非必要条件；(C)充分必要条件；(D)既非充分又非必要条件。17．已知函数)0,0(),(,)0,0(),(,42),(yxayxxyxyyxf在（0，0）处连续，则常数a（）。（05）B(A)41；(B)41；(C)4；(D)－4；18．设),(yxf在点),(ba处的偏导数存在，则xbxafbxafx),(),(lim0（）。（05）B(A)),(bafx；(B)),(2bafx；(C)),(21bafx；(D)),2(bafx；19.设),(yxf具有一阶连续偏导数,若32),(xxxf，4222),(xxxxfx，则),(2xxfy（）A(A)3xx；(B)4222xx；(C)52xx；(D)222xx；（06）20．求函数322),,(22yxzyxzyxu在点（1，-1，2）处的方向导数的最大值。(06)2221.设函数)(),(2222yxgyeyxfzxy，其中f具有二阶连续偏导数，g二阶可导，求xz及yxz2.(06)解：12222xyzxygxfyefxg，21112221222(2)(1)(2)xyxyxyxyzxyfxefxyefyeyfxefxy224(2)222gyggygggyxg2222222111222324()(1)42()2xyxyxyggyggygxyefxyfxyefxyefxg22.设函数),(yxF具有一阶连续偏导数,),(yxzz是由方程0),(zyzxF所确定的隐函数,试求表达式zzxyxy。(06)解法一：方程(,)0xyFzz两端对x求导：11222120xxxzxzyzzFFFzzzxFyF，同理可求，212yzFzxFyFzzxyzxy。解法二：令(,,)(,)xyuxyzFzz，则1211,xyuFuFzz，1221[+],zuxFyFz于是，112xxzuzFzuxFyF，212yyzuzFzuxFyFzzxyzxy23．设yxyfz,，其中f具有二阶连续偏导数，求22222,,zzzxxyy。(07)24．设,1,0xvyuyvxu求xu和xv（已知022yx）。(07)25.设),sin(22yxyefzx，f具有二阶连续偏导数，求yz及yxz2.（02）解答：212cosyffyeyzx212sinxffyexzx22211211122cos22cossincosyfyefxyfyefyefyeyxzxxxx22211221114cos2sin2cossincosxyfyexfyfyeyyeffyexxxx221211214sincos2cossincosxyffyyyxefyyefyexxx26.设f有二阶连续偏导，),(22xyeyxfu，求yxu2.（03）27.设),(ytxyxfz，其中),(yxtt为由方程0),,(tyxF确定的隐函数，Ff,具有连续的偏导数，求yzxz,；（04）解答：121()ztffxtxyx而xtFtxF故121()xtxFzfftxyF同理122(1)()ztxffyy28.已知方程333axyzz定义了函数),(yxzz，求yxzxzyzxz222,,及。（05）解答：03332xzxyyzxzzxyzyzxz2，同理xyzxzyz222222()(2)()zzyzxyyzzyzxxxzxy2222(2)()yzyzyzzyzxyzxy=。。。2222()()(2)()zzzyzxyyzzxzyyxyzxy=。。。29.求函数1),(22yxyxyxyxf的极值.（02）解答：联立012),(yxyxfx及012),(yxyxfy得到1,1yx2),(yxfxx，1),(yxfxy，2),(yxfyy因为032BAC，所以1,1是极值，又2),(yxfxx0，所以01,1f是极小值.30.求函数)2(),(22yyxeyxfx的极值。（03）31.研究函数xyxyxyxf933),(2233的极值问题。（04）解答：xyxyxyxf933),(2233令00yxff驻点为)0,1(,)2,1(,)0,3(,)2,3(在)0,1(处,0360362BAC,又012A.)0,1(处取得极小值,5)0,1(f在)2,1(处,0)6(122BAC)2,1(f不是极值在)0,3(处,06)12(2BAC)0,3(f不是极值在)2,3(处,0)6()12(2BAC,又0A,)2,3(处取得极大值,31)2,3(f32.证明曲面)(xyxfz上任一点处该曲面的切平面都过原点（其中f导数连续）。（04）证明:}1,,{yxFFT}1,)(,))(()({'2'xyfxyxyxfxyf(其中)(xyxfF)任一点),,(000zyx处的切平面方程为'000002000[()()()]()yyyfxfxxxxx))((000'yyxyf0)(0zzxxyfxyxyf)]()([00'0000)()(00000xyfxzyxyf)(00'0xyfy0)(000'0zxyfy(又)(0000xyfxz)xxyfxyxyf)]()([00'00000)(00zyxyf显然)0,0,0(满足上面的方程,所以结论正确33.求曲线06222zyxzyx在点)1,2,1(M处的切线和法平面方程。（05）解答：方程两边对x求导:1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy解得:0|)1,2,1(dxdy,1|)1,2,1(dxdz)1,0,1(T故,切线方程:110211zyx法平面方程:0)1()1(zx,即0zx34.求曲线26222zyxzyx在点)1,2,1(M处的切线的方向向量。(06)解答：{3,－2,－1}或任何平行于它的向量。35.求曲面3xyzez在点（2，1，0）处的切平面和法线。(03)36.（1）已知函数时当时当000,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf研究其在(0,0)点处的可导性及可微性(05)解答：0)(1sinlim)0,0()0,0(lim)0,0(200xxxfxffxxx，同理0)0,0(yf因为)0(01sin)()())0,0()0,0((222yxyfxfzyx，所以函数在（0，0）处可导且可微。37.已知矩形的周长为p2，将它绕其一边旋转而成一柱体，求所得柱体体积为最大的那个矩形。（05）解答：设矩形的长、宽分别为yx,，问题为：在条件pyx下，求函数2xyV的最大值.令)(2pyxxyL由pypxLLyx31320038.某企业生产甲、乙两种产品，其销售单价分别为10万元/件、9万元/件，若生产x件甲产品和y件乙产品的总成本为22400230.01(33)Cxyxxyy（万元），又已知两种产品的总产量为100件，试建立这一问题的数学模型，并分析两种产品的产量各为多少时企业获得最大利润。解：因为企业获得的总利润G应为总收入109Rxy与总成本C之差，因此这一问题的数学模型应描述如下：22max109400230.01(33)..100Gxyxyxxyystxy这是有条件极值问题，利用Lagrange乘数法，令22(,,)109400230.01(33)(100)Lxyxyxyxxyyxy求L对各个变量的偏导数,并令它们都等于0,得1020.060.010930.060.010100xyLxyLyxLxy解上述方程组得到唯一驻点(70,30)，依题意知所求最大利润一定存在。故当产品甲产量为70件，产品乙产量为30件时企业获得最大利润。