第八节二阶常系数齐次线性微分方程

第八节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。教学内容：若22()()0dydyPxQxydxdx（1）中(),()PxQx为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。记：'''0ypyqy（2）将rxye代入（2）中有2()0rxrprqe，称20rprq为（2）的特征方程。20rprq（3）设12,rr为（3）的解。（1）当12rr即240pq时，1212rxrxyCeCe为其通解。（2）当12rrr即240pq时，（3）只有一个解rxyCe。（3）当ri即240pq时，有()ixye是解。利用欧拉公式可得实解，故通解为12(cossin)xyeCxCx。求二阶常系数齐次线性微分方程'''0ypyqy（2）的通解的步骤如下：1．写出微分方程（2）的特征方程20rprq（3）2．求出特征方程（3）的两个根1r、2r。3．根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解：特征方程2rprq0的两个跟12r,r微分方程ypy+qy=0的通解两个不相等的实根12r,r两个相等的实根12r,r一对共轭复根1,2ri12rxrx12yCeCe1rx12yCCxeax12yeCcosx+Csinx例1求微分方程230yyy的通解。解所给微分方程的特征方程为2230rr其根121,3rr是两个不相等的实根，因此所求通解为312xxyCeCe例2求方程2220dsdssdtdt满足初始条件0|4ts，0|2ts的特解。解所给方程的特征方程为2210rr其根121rr是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为12tsCCte将条件0|4ts代入通解，得14C，从而24tsCte将上式对t求导，得224tsCCte再把条件0|2ts代入上式，得22C。于是所求特解为42tste例3求微分方程250yyy的通解。解所给微分方程的特征方程为2250rr其根1,212ri为一对共轭复根，因此所求通解为12cos2sin2xyeCxCx例4在第七节例1中，设物体只受弹性恢复力f的作用，且在初瞬0t时的位置为0xx，初始速度为00|tdxvdt。求反映物体运动规律的函数()xxt。解由于不计阻力R，即假设0dxdt，所以第八节中的方程（1）成为2220dxkxdt（4）方程（4）叫做无阻尼自由振动的微分方程。反映物体运动规律的函数()xxt是满足微分方程（4）及初始条件0000|,|ttdxxxvdt的特解。方程（4）的特征方程为220rk，其根rik是一对共轭复根，所以方程（4）的通解为12cossinxCktCkt。应用初始条件，定出0102,vCxCk。因此，所求的特解为00cossinvxxktktk。（5）为了便于说明特解所反映的振动现象，我们令00sin,cos,(02)vxAAk于是（5）式成为sin()xAkt，（6）其中2200020,tanvkxAxkv。函数（6）的图形如图12-14所示（图中假定000,0xv）。函数（6）所反映的运动就是简谐振动。这个振动的振幅为A，初相为，周期为2Tk，角频率为k，由于ckm（见第八节例1），它与初始条件无关，而完全由振动系统（在本例中就是弹簧和物体所组成的系统）本身所确定。因此，k又叫做系统的固有频率。固有频率是反映是振动系统特性的一个重要参数。例5由第七节例1中，设物体受弹簧的恢复力f和阻力R的作用，且在初瞬0t时的位置0xx，初始速度0dxvdt，求反映物体运动规律的函数()xxt解2220000dd20ddd,dttxxnkxttxxxvt小阻尼情形nk12(cossin)ntxeCtCt22()kn令000sin,cos(02)vnxxA则sin()ntxAet其中22220002(),vnxknAx运动周期2;T振幅:ntAe衰减很快随时间t的增大物体趋于平衡位置大阻尼情况nk1212rtrtxCeCe221,2rnnk其中22nnk无振荡现象，对任何初始条件lim()0.txt即随时间t的增大物体总趋于平衡位置临界阻尼情况n=k12()ntxCCte任意常数由初始条件定,12,CC无论取何值都有()xt最多只与t轴交于一点，无振荡现象，12lim()lim()0.ntttxtCCte即随时间t的增大物体总趋于平衡位置可扩展到n阶常系数微分方程()(1)110()nnnnkypypypyp均为常数特征方程:1110nnnnrarara若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项112()krxkCCxCxe若特征方程含k重复根,ri则其通解中必含对应项111212[()cos()sin]xkkkkeCCxCxxDDxDxx若特征方程单实根r则其通解中必含对应项rxCe若特征方程一对单复根1,2ri则其通解中必含对应项12(cossin)xeCxCx例6解方程052)4(yyy通解为1234(cos2sin2)xyCCxeCxCx例7444d0(0).dwwx解方程解:特征方程44r22222()20rr即2222(2)(2)0rrrr其根为1,23,4(1),(1)22riri方程通解221234(cossin)(cossin)2222xxweCxCxeCxCx小结与思考：本节讲述了二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及当特征根形式不同时，通解具有不同形式。用特征根法求二阶常系数齐次线性微分方程0qyypy的通解的方法和步骤为：①写出微分方程的特征方程02qprr；②求出特征方程的根，即特征根1r和2r；③根据特征根的不同情况，写出微分方程的通解，即当042qp时，微分方程的通解xrxreCeCY2121；当042qp时，微分方程的通解xrxrxeCeCY1121；当042qp时，将特征根1r和2r记为i，微分方程的通解xeCxeCYxxsincos21作业：作业见作业本