第2讲椭圆双曲线抛物线--教师用

1第一讲直线与圆知识结构框架题型一：直线的相关概念1.在直角坐标系中，直线033yx的倾斜角是（）A．6B．3C．65D．322.如果直线02012yxyax与直线互相垂直，那么a的值等于()A．1B．31C．32D．2题型二：直线与圆客观题1.直线0943yx与圆422yx的位置关系是（）A．相交且过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心2.动点在圆122yx上移动时，它与定点)0,3(B连线的中点的轨迹方程是()A．4)3(22yxB．1)3(22yxC．14)32(22yxD．21)23(22yx3奎屯王新敞新疆.参数方程sin33cos33yx表示的图形是()A圆心为)3,3(，半径为9的圆B圆心为)3,3(，半径为3的圆C．圆心为)3,3(，半径为9的圆D圆心为)3,3(，半径为3的圆4.设m，nR，若直线(1)+(1)2=0mxny与圆22(1)+(y1)=1x相切，则+mn的取值范围是()2（A）[13,1+3]（Ｂ）(,13][1+3,+)C[222,2+22]D(,222][2+22,+)5.已知圆22:40Cxyx，l过点(3,0)P的直线，则（）（A）l与C相交（B）l与C相切（C）l与C相离（D）以上三个选项均有可能6.【2012高考浙江文17】定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距离，则实数a=_______.【解析】C2：x2＋(y＋4)2＝2，圆心(0，—4)，圆心到直线l：y＝x的距离为：0(4)222d，故曲线C2到直线l：y＝x的距离为22ddrd．另一方面：曲线C1：y＝x2＋a，令20yx，得：12x，曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(12，14a)，111()72442422aada．7.【2102高考北京文9】直线xy被圆4)2(22yx截得弦长为__________。【答案】228.【2012高考江西文14】过直线x+y-=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________。3【答案】)2,2(【解析】如图：由题意可知060APB,由切线性质可知030OPB,在直角三角形OBP中，22OBOP,又点P在直线022yx上，所以不妨设点P)22,(xx，则2)22(22xxOP,即4)22(22xx，整理得02222xx，即0)2(2x,所以2x，即点P的坐标为)2,2(。9.【2012高考江苏12】在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为228150xyx，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是▲．【解析】根据题意228150xyx将此化成标准形式为：1422yx，得到，该圆的圆心为M0,4半径为1，若直线2ykx上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需要圆心M0,4到直线2ykx的距离11d，即可，所以有21242kkd，化简得0)43(kk解得340k，所以k的最大值是34.10.(2012年高考浙江卷理科16)定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a=__________4第二讲椭圆双曲线抛物线自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，左、右焦点分别是F1、F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14B.55C.12D.5－2解析利用等比中项性质确定a，c的关系．由题意知|AF1|＝a－c，|F1F2|＝2c，|F1B|＝a＋c，且三者成等比数列，则|F1F2|2＝|AF1|·|F1B|，即4c2＝a2－c2，a2＝5c2，所以e2＝15，所以e＝55.2．(2012·山东)已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为A．x2＝833yB．x2＝1633yC．x2＝8yD．x2＝16y解析根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解．∵双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴ca＝a2＋b2a＝2，∴b＝3a，∴双曲线的渐近线方程为3x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为53×0±p22＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.考题分析椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容．近几年命题更加注意知识的融合创新，涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识，同时注意思想方法的运用．网络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线的定义及应用【例1】(2012·潍坊二模)已知双曲线C：x24－y25＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则PF1→·PF2→等于A．24B．48C．50D．56[审题导引]据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF1|与|PF2|的长，在△PF1F2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值，即得PF1→·PF2→.[规范解答]如图所示，|PF2|＝|F1F2|＝6，由双曲线定义可得，|PF1|＝10.在△PF1F2中，由余弦定理可得，6cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF1→·PF2→＝|PF1→||PF2→|cos∠F1PF2＝10×6×56＝50.【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识：①椭圆或双曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式．【变式训练】1．已知双曲线x2m－y27＝1，直线l过其左焦点F1，交双曲线左支于A、B两点，且|AB|＝4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则m的值为A．8B．9C．16D．20解析由双曲线的定义可知，|AF2|－|AF1|＝2m，|BF2|－|BF1|＝2m，所以(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝4m，|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4m，|AF2|＋|BF2|＝4＋4m.又|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝20，即4＋4m＋4＝20.所以m＝9.2．(2012·四川)椭圆x24＋y23＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．解析根据椭圆的定义结合其几何性质求解．直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，|AB|＝2×b2a＝2×32＝3，∴S△FAB＝12×2×3＝3.考点二：圆锥曲线的性质【例2】(2012·咸阳二模)已知椭圆C1：x2m＋2＋y2n＝1与双曲线C2：x2m－y2n＝1共焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为A.22，1B.0，22C．(0,1)D.0，12[审题导引]根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置，进而求出m、n的范围，7可求离心率e的取值范围．[规范解答]由双曲线的方程知，椭圆与双曲线的焦点在x轴，∴m＋2－n＝m＋nm＋2＞0m＞0n＞0m＋2＞n，∴n＝1m＞0.设椭圆C1的离心率为e，∴e2＝1－nm＋2＝1－1m＋2.∵m＞0，∴e2＞12，e＞22，即离心率的范围是22，1.【规律总结】离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出a、c的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出a、c的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a、c或a、b的方程，通过这个方程解出ca或ba，利用公式e＝ca求出，对双曲线来说，e＝1＋b2a2，对椭圆来说，e＝1－b2a2.【变式训练】3．(2012·日照模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A．y＝±32xB．y＝±32xC．y＝±33xD．y＝±3x解析抛物线y2＝16x的焦点为(4,0)，∴c＝4，e＝ca＝4a＝2，∴a＝2，b＝c2－a2＝16－4＝23，故渐近线方程为y＝±3x.考点三：求圆锥曲线的方程【例3】(1)(2012·湖南)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为（）A.x220－y25＝1B.x25－y220＝1C.x280－y220＝1D.x220－y280＝18(2)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x[审题导引](1)利用焦距为10与P(2,1)在双曲线的渐近线上可列出关于a，b的方程组，解出a与b，得双曲线的方程．(2)求出各点的坐标，就可以根据三角形的面积列出关于a的方程，解方程即得．[规范解答](1)∵x2a2－y2b2＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.①又双曲线渐近线方程为y＝±bax，且P(2,1)在渐近线上，∴2ba＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝25，b＝5，故应选A.(2)抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F坐标为a4，0，则直线l的方程为y＝2x－a4，它与y轴的交点为A0，－a2，所以△OAF的面积为12a4·－a2＝4，解得a＝±8.所以抛物线方程为y2＝±8x.故选B.【规律总结】求圆锥曲线方程的方法(1)定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法．(2)待定系数法：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y2＝2ax或x2＝2ay(a≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a不具有p的几何意义．中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x2m＋y2n＝1(m＞0，n＞0)，双曲线方程可设为x2m－y2n＝1(mn＞0)．这样可以避免繁琐的计算．利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程．（3）代入法（相关点法）（4）设参用参消参法。【变式训练】5．若点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，则点P(x，y)的轨迹方程为A．y2＝8xB．y2＝－8xC．x2＝8yD．x2＝－8y9解析点P(x，y)到点F(0,2)的距离比它到直线y＋4＝0的距离小2，说明点P(x，y)到点F(0,2)和到直线y＋2＝0的距离相等，所以P点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x2＝2py，其中p＝4，故所求的轨迹方程为x2＝8y.名师押题高考【押题1】设F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝45，则双曲线的渐近线方程为A．3x±4yB．3x±5y＝0C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0解析在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠PF1F2＝|PF1|2＋|F1F2|2－|PF2|