第2课三角函数的图象

地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：[phone]第1页共6页数学月刊元月号第2课三角函数的图象(时间：90分钟满分：100分)题型示例已知向量a=(cosx,2sinx),b=(2cosx,3cosx),f(x)=a·b+m(m为常数).(1)求f(x)的最小正周期；(2)若f(x)在6,6上的最大值与最小值之和为3，求m的值;(3)在(2)的条件下,f(x)按向量(h,k)平移后得到y=2sin2x的图象，其中|h|2,求h,k的值.解∵a=(cosx,2sinx),b=(2cosx,3cosx),∴a·b=cosx·2cosx+2sinx·3cosx=2cos2x+3sin2x=1+cos2x+3sin2x=2sin(2x+6)+1.∴f(x)=a·b+m=2sin(2x+6)+m+1.(1)f(x)的最小正周期T=π.(2)∵f(x)在6,6上是单调递增函数，∴f(x)在6,6上的最大值为f(6)，最小值为f(-6),而由题意f(x)在6,6上的最大值与最小值之和为3,可得f(6)+f(-6)=3，解得m=0,(3)当m=0时，f(x)=2sin(2x+6)+1.设P(x,y)为f(x)的图象上的任意一点，此点按向量(h,k)平移后与Q(x′,y′)相对应，则由平移公式得kyyhxx，代入y=2sin2x得y+k=2sin［2(x+h)］，与f(x)=2sin(2x+6)+1应是同一个函数，比较系数可得h=12,k=-1.点评本题主要考查了三角函数的周期的求法和图象的平移等知识，但已知条件用向量的数量积进行了“伪装”，使得题目的隐蔽性变得更强，难度更大.在求解时仍要先化简f(x)的解析式，利用周期的计算公式求出函数的周期，利用平移公式求平移前的函数解析式，最后比较系数求得h和k的具体值.一、选择题(8×3′＝24′)1．为了得到函数y=sin(2x-6)的图象，可以将函数y=cos2x的图象()A.向右平移6个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D.向左平移3个单位长度2．与图1中曲线对应的函数是()A.y=|sinx|B.y=sin|x|C.y=-sin|x|D.y=-|sinx|图1地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：[phone]第2页共6页3．已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线x=3是其图象的一条对称轴，则下列各式中符合条件的解析式是()A.y=4sin(4x+3)B.y=2sin(2x+3)+2C.y=2sin(4x+3)D.y=2sin(4x+6)+24．若f(x)=tan4x,则()A.f(0)f(-1)f(1)B.f(0)f(1)f(-1)C.f(1)f(0)f(-1)D.f(-1)f(0)f(1)5．已知函数y1=3sin(2x-3)，y2=4sin(2x+3)，那么函数y=y1+y2的振幅A的值是()A.5B.7C.13D.136．下列函数中同时满足①在区间(0,2)上是增函数，②以π为周期，③是偶函数三个条件的是()A.y=tanxB.y=e-cosxC.y=sin|x|D.y=|sinx|7．函数y=x+sin|x|，x∈［-π，π］的大致图象是图2中的()8．若函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象(部分)如图3所示，则ω和φ的取值是()A.ω=1,φ=3B.ω=1,φ=-3C.ω=21,φ=6D.ω=21,φ=-6二、填空题(5×4′＝20′)9．将函数y=f(x)sinx(x∈R)的图象向右平移4个单位后，再作关于x轴的对称变换，得到函数y=1-2sin2x的图象，则f(x)可以是.10．函数y=2sin(kx-12)的周期为T,且T∈(1,3),则正整数k的最大值是.图2图3地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：[phone]第3页共6页11．由函数y=2sin3x(656x)与函数y=2(x∈R)的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是.12．设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,22),给出以下四个论断：①它的图象关于直线x=12对称；②它的周期为π；③它的图象关于点(3,0)对称；④在区间［-6,0］上是增函数.以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：(1)；(2).13．函数y=Asin(ωx+θ)(其中A0,ω0,|θ|2)的图象的一条对称轴的方程是x=6，一个最高点的纵坐标是3，要使该函数的解析式为y=3sin(2x+6)，还应给出一个条件是.三、解答题(3×12′＝36′)14．已知定义在区间［-π,32π］上的函数y=f(x)的图象关于直线x=-6对称，当x∈［-6，32π］时，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,-2φ2)的图象如图4所示.(1)求函数y=f(x)在［-π,32π］上的表达式；(2)求方程f(x)=22的解.15．设0θ2π,且方程2sin(θ+3)=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和.16．已知函数f(x)=2cosx·sin(x+3)-3sin2x+sinx·cosx.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值;(3)若当x∈127,12时,f(x)的反函数为f-1(x),求f-1(1)的值.四、思考与讨论(20′)17．已知x=|cosπt-sinπt|,y=|cos2πt-sin2πt|,其中-1≤t≤1.(1)作出函数x=f(t)的图象；(2)写出函数y=g(x)的解析式，并作出函数y=g(x)的图象．图4地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：[phone]第4页共6页参考答案1．By=sin(2x-6)=cos［2-(2x-6)］=cos(-2x+32π)=cos(2x-32π)=cos2(x-3)，故可以将函数y=cos2x的图象向右平移3个单位长度得到y=sin(2x-6)的图象.2．C由图象知函数为偶函数，又x0时，y=-sinx;x0时，y=sinx，∴所求函数为y=-sin|x|.3．D04mAmAA=2,m=2.ω0时，22,ω=4.y=2sin(4x+φ)+2.令4x+φ=kπ+2,k∈Z,且x=3，则34π+φ=kπ+2,得φ=kπ-65π,φ的一个值为6.4．A作出函数f(x)=tan(x+4)的图象如图5所示，易知:f(0)f(-1)f(1).5．Dy=y1+y2=3sin(2x-3)+4sin(2x+3)=23sin2x-233cos2x+2sin2x+23cos2x=27sin2x+23cos2x=222327sin(2x+φ)=13sin(2x+φ).(其中cosφ=1327,sinφ=1323)6．Dy=tanx不是偶函数，从而否定A;y=e-cosx以2π为周期函数，从而否定B;y=sin|x|不是周期函数，从而否定C;y=|sinx|在(0,2)上是增函数，以π为周期，又是偶函数,所以选D.7．C函数y=x+sin|x|为非奇非偶函数，排除A、B、D．8．C考查三角函数的图象和性质.由图可知3324T=π.∴T=4π,∴ω=T2=21.∴f(x)=sin(21x+φ),将(32π,1)代入可求φ=6+2kπ(k∈Z).9．2cosx逆推，y=1-2sin2x=cos2x-y=cos2x,即y=-cos2xy=-cos［2(x+4)］,即y=sin2x.于是sin2x=f(x)sinx.∴f(x)是2cosx.图5地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：[phone]第5页共6页10．6由题意1||2k3,又k∈N*∴232,1231kk,∴k的最大值为6.11．34π由图象的对称性，转化为图中一个长为32π,宽为2的矩形的面积.12．①③②④;②③①④①③成立时，f(x)的图象可能为图6中的一个.但右图不能满足-2φ2.在图中可得端点A(-6,0),B(3,0),故②④成立.同理②③成立时，①④成立.13．周期为π确定了一条对称轴和最高点的纵坐标后，如果不知周期性，还是不能确定ω，解析式不能确定．14．解（1）当x∈［-6,32π］时，函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A0,ω0,-2φ2),观察图象易得A=1,ω=1,φ=3,即函数f(x)=sin(x+3),由函数y=f(x)的图象关于直线x=-6对称得x∈［-π,-6］时，函数f(x)=-sinx.∴f(x)=6,,sin32,6),3sin(xxxxx(2)当32,6x时，由sin(x+3)=22得x+3=4或43x=-12或x=125;当x∈［-π,-6］时，由-sinx=22得x=-43或x=-4.∴方程f(x)=22的解集为{-43,-4,-12,125).15．解如图7，在同一坐标系中画出y=2sin(θ+3),y=m(θ∈R)的图象，由图可知，当-2m3或3m2时，直线与曲线有两个交点，即原方程有两个不同的实根.当3m2时，设原方程有一个根为x1=6+α，则另一根为x2=6-α，∴x1+x2=3.当-2m3时，设原方程的一个根为x1=67π+α，则另一个根为x2=67π-α.∴x1+x2=37π.图7图6地址：西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话：[phone]第6页共6页16．解f(x)=2cosx3cos23sin21xxsin2x+sinx·cosx=sin2x+3cos2x=2).32sin(22cos232sin21xxx(1)最小正周期T=π;(2)当且仅当2x+3=2kπ-2即x=kπ-125π(k∈Z)时,f(x)min=-2;(3)据反函数性质，设f-1(1)=x0,∴1=2sin(2x0+3),sin(2x0+3)=21∵x0∈23,232,127,120x，∴2x0+3=65,∴x0=4,∴f-1(1)=4.点评此题考查三角式的化简能力,三角函数性质及反函数的本质，此题有两个关键:一是有目的地化简，二是求f-1(1)的灵活性.17．解(1)x=cos2πt-2sinπtcosπt+sin2πt=1-sin2πt(-1≤t≤1)，其图象如图8①所示．(2)由y=|cos2πt-sin2πt|=|cos2πt|,得y=cos22πt=1-sin22πt．由(1)知sin2πt=1-x(0≤x≤2)，∴y=1-(1-x)2=-x2+2x，∴y=g(x)=-x2+2x(0≤x≤2)，其图象如图8②所示．图8