第3章72矩阵初等变换与线性方程组作业解答

线性代数作业学号__________________姓名________________72版第3章第1页共7页第3章矩阵初等变换与线性方程组(作业1)一.填空题：设532111363A,532010363B,则由A变换为B的一个初等变换为(r2–31r1);由B变换为A的一个初等变换为(r2+31r1).二.选择题：设A=441221442,B=000000221,其中矩阵B是矩阵A的行最简形,以下5组初等变换及其次序:①r1r2,r2–2r1,r3+2r1;②r3+r1,r11/2,r2–r1;③r1–2r2,r3+2r2,r1r2;④r3+r1,r1–2r2,r1r2;⑤r3+r1,r1–r2,r2–r1.其中有(D)是由A变换为B的初等变换.(A)2组;(B)3组;(C)4组;(D)5组.三.把矩阵12433023221453334311A化为行最简形矩阵.解:12433023221453334311A1010500663008840034311221002210022100343110000000000221003431100000000002210032011四.利用矩阵的初等变换求方阵A=113122214的逆阵.100113010122001214100113010122101101403210212320101101614100403210101101614100825010513001,所以，A–1＝614825513.r1+r2(–1)r2+r1(–3)r3+r1(–2)r4+r1(–3)r2(–4)r2(–3)r2(–5)r3+r2(–1)r4+r2(–1)r1+r3(–1)r2+r1(–2)r3+r1(–3)r2+r3(–2)r2r3r2+r3(2)r1+r3(–1)r3(–1)线性代数作业学号__________________姓名________________72版第3章第2页共7页五.已知AX+2E=X+B,其中221001323A,112221015B，求矩阵X.解:由AX+2E=X+B得,(A–E)X=B–2E,X=(A–E)–1(B–2E),100121010011001322110110010011021340021340110110010011461100110110010011461100351010341001所以,X=(A–E)–1(B–2E)=461351341312201013=051142141.六.k取何值时矩阵A=11100001k可逆,并在A可逆的条件下求A–1.解:显然|A|=k,故A可逆当且仅当k0.以下求A–1.方法一:(A:E)=10011101000001001k1011100/10010001001k1/111000/10010001001kk,所以A–1=1/110/10001kk.方法二:将矩阵A分块,A=11100001k=231AAOA由分块矩阵逆矩阵的有关结论有:A–1=121131211AAAAOA,易得kA/100111,)1(12A,)1,1(10011,1)1(11312kkAAA,所以A–1=1/110/10001kk.r1+r2(–2)r3+r2(1)r1r2r2r3r3+r2(–4)r3(–1)r2+r3(–2)r2r3r3+r1(–1)r2(k)r3+r2(1)线性代数作业学号__________________姓名________________72版第3章第3页共7页第3章矩阵初等变换与线性方程组(作业2)一.填空：1.设nnnnnnbababababababababaA212221212111，其中ai0,bi0(i=1,2,…,n)，则R(A)=1.解:A=(a1,a2,,an)T(b1,b2,,bn),R(A)R((a1,a2,,an)T)R((b1,b2,,bn))=11=1,而ai0,bi0(i=1,2,…,n),故AO,R(A)1,所以R(A)=1.2.当齐次线性方程组Ax=0的方程个数大于未知量个数时,则方程组不一定有非零解.解:由条件知,系数矩阵A的行数m大于列数n,因此R(A)=n可能成立.3.设B为非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵,则Ax=b有解的充分必要条件是R(A)与R(B)相等.解:根据非齐次线性方程组有解的充分必要条件.二.选择题：1.从矩阵A中划去一行得到矩阵B，则矩阵A,B的秩的关系为(C).(A)R(A)=R(B)+1;(B)R(A)R(B);(C)R(A)R(B)R(A)–1;(D)R(B)R(A)–1.解:结论(A)(B)(D)都是不能确定的(可以举反例),而(C)结论是正确的.2.矩阵A的秩为r,则下列结论正确的是（A）.(A)A的所有阶数大于r的子式全等于零;(B)A没有r–1阶的非零子式;(C)A的所有r阶子式都不为零;(D)A的所有r–1阶子式都不为零.解:由矩阵秩和最高阶非零子式的概念可得.3.设非齐次线性方程组Ax=b有n个未知量,m个方程,且R(A)=r,则此方程组(A)。(A)r=m时,有解;(B)r=n时,有唯一解;(C)m=n时,有唯一解;(D)rn时,有无穷多解.解:由条件知,系数矩阵A为mn阶矩阵,增广矩阵B为m(n+1)阶矩阵,结论(B),(C),(D)均不能保证非齐次线性方程组有解的充分必要条件r=R(A)=R(B)成立.而结论(A)表明mR(B)R(A)=r=m,故结论(A)正确.三.求矩阵A=815073131213123的秩，并求一个最高阶非零子式.解:A815073131224431222733210791170244311000079117024431.所以R(A)=3,A的一个最高阶非零子式为807312123.r1+r2(–1)r2+r1(–2)r3+r1(–7)r3+r2(–3)线性代数作业学号__________________姓名________________72版第3章第4页共7页四.求解齐次线性方程组:0220202432143214321xxxxxxxxxxxx解:系数矩阵A=112211121211330013101211110013101211110020101011110020101001令x4=c,则cxcxcxcx43212,即方程组的通解为:112124321cccccxxxx(其中c任意常数).五.讨论为何值时,非齐次线性方程组23213213211xxxxxxxxx(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解?解:增广矩阵B=2111111111111112322211101101132222120011011=)1()1()1)(2(00)1(1101122记方程组系数矩阵为A,则当1,–2时,R(A)=R(B)=3,故方程组有唯一解.当=–2时,R(A)=2R(B)=3,故方程组无解.当=1,时,R(A)=R(B)=13,故方程组有无穷多个解.r2+r1(–2)r3+r1(–2)r2(–1)r3(–3)r2+r1(–2)r3+r1(–7)r2+r1(–2)r3+r1(–7)r1r3r2+r1(–1)r3+r1(–)r2+r2(1)线性代数作业学号__________________姓名________________72版第3章第5页共7页第3章矩阵初等变换与线性方程组(检测题)一.填空：1.非齐次线性方程组Ax=b当系数矩阵的秩和增广矩阵的秩都等于未知量个数时，则此方程组的解唯一.解:由非齐次线性方程组解的充分必要条件知:此时方程组有唯一解.2.设矩阵A=(aij)m5,则Ax=0只有零解的充分必要条件是R(A)=5.解:由齐次线性方程组有非零解的充分必要条件知:R(A)=5.二.选择题:1.设非齐次线性方程Ax=b有m个方程n个未知量,则以下结论正确的是(D).(A)若Ax=0仅有零解,则Ax=b有唯一解;(B)若Ax=0有非零解,则Ax=b有无穷多解;(C)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0仅有零解;(D)若Ax=b有无穷多解,则Ax=0有非零解.解:对于(A),有R(A)=n,但R(A:b)=n+1可能成立;对于(B),有R(A)n,但R(A:b)R(A)可能成立;故(A),(B)都不能保证Ax=b有解.对于(C),由于Ax=b有无穷多解,则R(A)=R(A:b)n,故Ax=0有非零解,从而(C)不成立;因此(D)正确.2.设齐次线性方程组0003213213221xxxxxxxxx的系数矩阵为A,且存在三阶方阵B0,.使AB=O,则(C).(A)=–2且|B|=0;(B)=–2且|B|0;(C)=1且|B|=0;(D)=–1且|B|0.解:由于AB=O,则|B|=0,否则B可逆,则A=O,这显然与AO矛盾,结论(B)和(D)都不成立.计算得|A|=(–1)2,由于AB=O,且BO,所以Ax=0有非零解,则|A|=0,即=1成立,从而(A)不正确,而(C)正确.三.用矩阵的初等变换求方阵A=1234012300120001的逆阵.解:(A:E)=10001234010001230010001200010001100412300103012000120010000100011032120001210100001200100001000112101000012101000012001000010001所以,A–1=1210012100120001.r2+r1(–2)r3+r1(–3)r4+r1(–4)r3+r2(–2)r4+r2(–3)r4+r3(–2)线性代数作业学号__________________姓名________________72版第3章第6页共7页四.解方程组: