第3章DSP芯片的定点运算

·37·第3章DSP芯片的定点运算3.1数的定标在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长，一般为16位或24位。显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。如无特别说明，本书均以16位字长为例。DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，1则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此二进制数0010000000000011b＝8195二进制数1111111111111100b＝-4对DSP芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。那么，DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说，DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表3.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。从表3.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如：16进制数2000H＝8192，用Q0表示16进制数2000H＝0.25，用Q15表示但对于DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。从表3.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为1/32768=0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。浮点数与定点数的转换关系可表示为：浮点数(x)转换为定点数(xq)：Qqx2x(int)定点数(qx)转换为浮点数(x)：Qqx2)float(x例如，浮点数x=0.5，定标Q＝15，则定点数qx＝16384327685.0，式中表示下取整。反之，一个用Q＝15表示的定点数16384，其浮点数为16384×2-15＝16384/32768=0.5。·38·表3.1Q表示、S表示及数值范围Q表示S表示十进制数表示范围Q15S0.15-1≤X≤0.9999695Q14S1.14-2≤X≤1.9999390Q13S2.13-4≤X≤3.9998779Q12S3.12-8≤X≤7.9997559Q11S4.11-16≤X≤15.9995117Q10S5.10-32≤X≤31.9990234Q9S6.9-64≤X≤63.9980469Q8S7.8-128≤X≤127.9960938Q7S8.7-256≤X≤255.9921875Q6S9.6-512≤X≤511.9804375Q5S10.5-1024≤X≤1023.96875Q4S11.4-2048≤X≤2047.9375Q3S12.3-4096≤X≤4095.875Q2S13.2-8192≤X≤8191.75Q1S14.1-16384≤X≤16383.5Q0S15.0-32768≤X≤327673.2高级语言：从浮点到定点在编写DSP模拟算法时，为了方便，一般都是采用高级语言(如C语言)来编写模拟程序。程序中所用的变量一般既有整型数，又有浮点数。如例3.1程序中的变量i是整型数，而pi是浮点数，hamwindow则是浮点数组。例3.1256点汉明窗计算inti;floatpi=3.14159;floathamwindow[256];for(i=0;i256;i++)hamwindow[i]=0.54-0.46*cos(2.0*pi*i/255);如果要将上述程序用某种定点DSP芯片来实现，则需将上述程序改写为DSP芯片的汇编语言程序。为了DSP程序调试的方便及模拟定点DSP实现时的算法性能，在编写DSP汇编程序之前一般需将高级语言浮点算法改写为高级语言定点算法。下面讨论基本算术运算的定点实现方法。3.2.1加法/减法运算的C语言定点模拟设浮点加法运算的表达式为：floatx,y,z;·39·z=x+y;将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标值一样。若两者不一样，则在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。为保证运算精度，需使Q值小的数调整为与另一个数的Q值一样大。此外，在做加法/减法运算时，必须注意结果可能会超过16位表示。如果加法/减法的结果超出16位的表示范围，则必须保留32位结果，以保证运算的精度。1．结果不超过16位表示范围设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且QxQy，加法/减法结果z的定标值为Qz，则z＝x+yyxzQqQqQqyxz222=xyxxQQQqQqyx222)(=xyxQQQqqyx2]2[)()()(2]2[xzyxQQQQqqqyxz所以定点加法可以描述为：intx,y,z;longtemp;/*临时变量*/temp＝y(Qx－Qy);temp＝x＋temp;z＝(int)(temp(Qx－Qz)),若Qx≥Qzz＝(int)(temp(Qz－Qx)),若QxQ≤z例3.2定点加法设x＝0.5，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x+y＝0.5+3.1＝3.6;Qx＝15，Qy＝13，Qz＝13，则定点加法为：x＝16384；y＝25395;temp＝253952＝101580;temp＝x+temp＝16384+101580＝117964;z＝(int)(117964L2)＝29491;因为z的Q值为13，所以定点值z＝29491即为浮点值z＝29491/8192＝3.6。例3.3定点减法设x＝3.0，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x-y＝3.0-3.1＝-0.1;Qx＝13，Qy＝13，Qz＝15，则定点减法为：x＝24576；y＝25295；temp＝25395;temp＝x-temp＝24576-25395＝-819;因为QxQz，故z＝(int)(-8192)＝-3276。由于z的Q值为15，所以定点值z＝-3276即为浮点值z＝-3276/32768-0.1。2．结果超过16位表示范围·40·设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且QxQy，加法结果z的定标值为Qz,则定点加法为：intx，y；longtemp，z；temp＝y(Qx-Qy)；temp＝x＋temp;z＝temp(Qx-Qz)，若Qx≥Qzz＝temp(Qz-Qx)，若Qx≤Qz例3.4结果超过16位的定点加法设x＝15000，y＝20000，则浮点运算值为z＝x＋y＝35000，显然z32767，因此Qx＝1，Qy＝0，Qz＝0，则定点加法为：x＝30000；y＝20000；temp＝200001＝40000;temp＝temp+x＝40000+30000＝70000;z＝70000L1＝35000;因为z的Q值为0，所以定点值z=35000就是浮点值，这里z是一个长整型数。当加法或加法的结果超过16位表示范围时，如果程序员事先能够了解到这种情况，并且需要保证运算精度时，则必须保持32位结果。如果程序中是按照16位数进行运算的，则超过16位实际上就是出现了溢出。如果不采取适当的措施，则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。一般的定点DSP芯片都设有溢出保护功能，当溢出保护功能有效时，一旦出现溢出，则累加器ACC的结果为最大的饱和值(上溢为7FFFH，下溢为8001H)，从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。3.2.2乘法运算的C语言定点模拟设浮点乘法运算的表达式为：floatx,y,z;z=xy;假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则z=xyzQqz2=)(2yxQQqqyxqz=)(2)(yxzQQQqqyx所以定点表示的乘法为：intx,y,z;longtemp;temp=(long)x;z=(temp×y)(Qx+Qy-Qz);例3.5定点乘法设x=18.4，y=36.8，则浮点运算值为z=18.4×36.8=677.12;根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=5，所以·41·x=18841；y=18841；temp=18841L;z=(18841L*18841)(10+9-5)=354983281L14=21666;因为z的定标值为5，故定点z=21666即为浮点的z=21666/32=677.08。3.2.3除法运算的C语言定点模拟设浮点除法运算的表达式为：floatx,y,z;z=x/y;假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则z=x/yzQqz2=yxQqQqyx22qQQQqqyxzyxz)(2所以定点表示的除法为：intx,y,z;longtemp;temp=(long)x;z=(temp(Qz-Qx+Qy))/y;例3.6定点除法设x=18.4，y=36.8，浮点运算值为z=x/y=18.4/36.8=0.5;根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=15；所以有x=18841,y=18841;temp=(long)18841;z=(18841L(15-10+9))/18841=308690944L/18841=16384;因为商z的定标值为15，所以定点z=16384即为浮点z=16384/215=0.5。3.2.4程序变量的Q值确定在前面几节介绍的例子中，由于x、y、z的值都是已知的，因此从浮点变为定点时Q值很好确定。在实际的DSP应用中，程序中参与运算的都是变量，那么如何确定浮点程序中变量的Q值呢？从前面的分析可以知道，确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围，动态范围确定了，则Q值也就确定了。设变量的绝对值的最大值为max，注意max必须小于或等于32767。取一个整数n，使它满足nn2max21则有·42·)15(152222nnQQ=15-n例如，某变量的值在-1至＋1之间，即max1，因此n=0，Q＝15-n=15。确定了变量的max就可以确定其Q值，那么变量的max又是如何确定的呢？一般来说，确定变量的max有两种方法：一种是理论分析法，另一种是统计分析法。1．理论分析法有些变量的动态范围通过理论分析是可以确定的。例如：(1)三角函数，y=sin(x)或y=cos(x)，由三角函数知识可知，|y|≤1；(2)汉明窗，y(n)=0.54-0.46cos[2n/(N-1)]，0≤n≤N-1。因为-1≤cos[2n/(N-1)]≤1，所以0.08≤y(n)≤1.0；(3)FIR卷积。y(n)=10)()(Nkknxkh，设100.1)(Nkkh，且x(n)是模拟信号12位量化值，即有)(nx≤211，则)(ny≤211；(4)理论已经证明，在自相关线性预测编码(LPC)的程序设计中，反射系数ik满足下列不等式：0.1ik，i=1,2,…,p,p为LPC的阶数。2．统计分析法对于理论上无法确定范围的变量，一般采用统计分析的方法来确定其动态范围。所谓统计分析，就是用足够多的输入信号样值来确定程序中变量的动态范围，这里输入信号一方面要有一定的数量，另一方面必须尽可能地涉及各种情况。例如，在语音信号分析中，统计分析时就必须采集足够多的语音信号样值，并且在所采集的语音样值中，应尽可能地包含各种情况，如音量的大小、声音的种类(男声、女声)等。只有这样，统计出来的结果才能具有典型