第3章空间向量与立体几何§3.2立体几何中的向量方法平行与垂直关系的向量证法

1§3.2立体几何中的向量方法(一)——平行与垂直关系的向量证法知识点一求平面的法向量已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量．解∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，AB＝(1，－2，－4)，AC→＝(1，－2，－4)，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)．依题意，应有n·AB=0，n·AC→=0.即x－2y－4z＝02x－4y－3z＝0，解得x＝2yz＝0.令y＝1，则x＝2.∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．【反思感悟】用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE是平面A1D1F的法向量.证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则AE是平面A1D1F的法向量．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E1，1，12，AE＝0，1，12..D1＝(0,0,1)，F0，12，0，A1(1,0,1)．21DF＝0，12，－1，A1D1→＝(－1,0,0)．∵AE·1DF＝0，1，12·0，12，－1＝12－12＝0，AE·A1D1→＝0，∴AE⊥A1D1→.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴AE是平面A1D1F的法向量．知识点二利用向量方法证平行关系在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.证明方法一∵1BC=1AD，∴B1AD∴B1C∥A1D，又A1D面ODC1，∴B1C∥面ODC1.方法二∵1BC=11BC+1BB=1BO+1OC+1DO+OD=1OC+OD.∴1BC，1OC，OD共面.又B1CODC1，∴B1C∥面ODC1.方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得B1(1,1,1)，C(0,1,0)，O12，12，1，C1(0,1,1)，1BC＝(－1,0，－1)，OD＝－12，－12，－1，1OC＝－12，12，0.设平面ODC1的法向量为n＝(x0，y0，z0)，3则10,0,nODnOC得－12x0－12y0－z0＝0①－12x0＋12y0＝0②令x0＝1，得y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1,1，－1)．又1BC·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0，∴1BC⊥n，∴B1C∥平面ODC1.【反思感悟】证明线面平行问题，可以有三个途径，一是在平面ODC1内找一向量与1BC共线；二是说明1BC能利用平面ODC1内的两不共线向量线性表示，三是证明1BC与平面的法向量垂直．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝3，EF＝2.求证：AE∥平面DCF.证明如图所示，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD所在直线分别作为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系C—xyz.设AB＝a，BE＝b，CF＝c，则C(0,0,0)，A(3，0，a)，B(3，0,0)，E(3，b,0)，F(0，c,0)．AE→＝(0，b，－a)，CB＝(3，0,0)，BE＝(0，b,0)，所以CB·AE→=0，CB·BE=0，从而CB⊥AE，CB⊥BE.所以CB⊥平面ABE.因为CB⊥平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF.故AE∥平面DCF.4知识点三利用向量方法证明垂直关系在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1.解建立空间直角坐标系D—xyz，设正方体的棱长为2，则E(2,1,0)，F(1,2,0)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)．设M（2，2，m），则EF=（1，1，0），B1E→=（0，1，2），1DM=（2，2，m2）.∵1DM⊥平面EFB1，∴1DM⊥EF，1DM⊥B1E，∴1DM·EF=0且1DM·B1E→=0，于是-2+2=0,-2-2(m-2)=0,∴m＝1，故取B1B的中点为M就能满足D1M⊥平面EFB1.【反思感悟】证明直线与平面垂直有两种方法：(1)用直线与平面垂直的判定定理；(2)证明该直线所在向量与平面的法向量平行．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C⊥A1B.求证：AC1⊥A1B.证明建立空间直角坐标系C1—xyz，设AB＝a，CC1＝b.则A132a，a2，0，B(0，a，b)，B1(0，a,0)，C(0,0，b)，A32a，12a，b，C1(0,0,0)．于是1AB=32a，12a，b1BC=（0，a，b），1AC＝－32a，－a2，－b.5∵B1C⊥A1B，∴1BC·1AB＝－a22＋b2＝0,而1AC·1AB＝34a2－14a2－b2＝a22－b2＝0∴1AC⊥1AB即AC1⊥A1B.课堂小结：1．用待定系数法求平面法向量的步骤：(1)建立适当的坐标系．(2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)．(3)求出平面内两个不共线向量的坐标a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(4)根据法向量定义建立方程组a·n＝0b·n＝0.(5)解方程组，取其中一解，即得平面的法向量.2．平行关系的常用证法AB＝λCD→.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外，证面面平行可转化证两面的法向量平行．3．垂直关系的常用证法要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直．要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直线垂直．要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．一、选择题1.已知A（3，5，2），B（-1，2，1），把AB按向量a＝(2,1,1)平移后所得的向量是()A．(－4，－3,0)B．(－4，－3，－1)C．(－2，－1,0)D．(－2，－2,0)答案BAB＝(－4，－3，－1)．平移后向量的模和方向是不改变的．2．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定答案C解析∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝0，∴两法向量垂直，从而两平面也垂直．3．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为()6A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)答案B解析，设B（x，y，z），AB=（x2，y+1，z7）=λ（8，9，12），λ0.故x2=8λ,y+1=9λ,z7=12λ，又（x22+（y+12+（z72=342，得（17λ）2=342，∵λ0,∴λ=2.∴x=18,y=17,z=17,即B（18，17，17）.4．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝152C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝152答案D解析∵l1∥l2，∴a∥b，则有23＝4x＝5y，解方程得x＝6，y＝152.5．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．D．l与α斜交答案B解析∵u＝－2a，∴a∥u，∴l⊥α.二、填空题6．已知A(1,1，－1)，B(2,3,1)，则直线AB的模为1的方向向量是________________．答案13，23，23或－13，－23，－23解析，AB=（1，2，2），|AB|=3.模为1的方向向量是±||ABAB,7．已知平面α经过点O(0,0,0)，且e＝(1,1,1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________________．答案x＋y＋z＝0解析OM·e=（x，y，z）·（1，1，1）=x+y+z=0.8．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)和(2，－3，－2)，则直线a和b的公垂线(与两异面直线垂直相交的直线)的一个方向向量是________．7答案(1,4，－5)(答案不唯一)解析设直线a和b的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，a与b的方向向量分别为n1，n2，由题意得n·n1＝0，n·n2＝0，即：x＋y＋z＝0，2x－3y－2z＝0.解之得：y＝4x，z＝－5x，令x＝1，则有n＝(1,4，－5)．三、解答题9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)、A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，所以1FC=（0，2，1），DA=（2，0，0），AE=（0，2，1）.（1）设n1=（x1,y1,z1）是平面ADE的法向量,则n1⊥DA，n1⊥AE，即1,11·2·2,DAxAEyz11nn得1110,2,xzy令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1→·n1＝－2＋2＝0，所以FC1→⊥n1.又因为FC1平面ADE，所以FC1∥平面ADE.（2）∵11CB=（2，0，0），设n2=(x2,y2,z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥FC1→,n2⊥11CB,得21222112·20,·20,nFCyznCBx得8得2220,2,xzy令z2＝2得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.10.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，AP＝BQ＝b(0b1)，截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.(1)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；(2)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；(3)若b＝12，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值．解以D为原点，射线DA、DC、DD′分别为x、y、z轴的正半轴建立如图(2)所示的空间直角坐标系D—xyz，由已知得DF＝1－b，故A(1,0,0)，A′(1,0,1)，D(0,0,0)，D′(0,0,1)，P(1,0，b)，Q(1,1，b)，E(1－b,1,0)，F(1－b,0,0)，G(b,1,1)，H(b,0,1)．(1)，证明在所建立的坐标系中,可得PQ=(0,1,0),PF=(b,0,b),PH=(b1,0,1b),'AD=(1,0,1),AD=(1,0,1),因为'AD·PQ=0，'AD·PF=0，所以'AD是平面PQEF的法向量.因为'AD·PQ=0，'AD·PH=0，所以'AD是平面PQGH的法向量.所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直.(2)证明，因为EF=(0,1,0),9所以EF∥PQ,|EF|=|PQ|,又PF⊥PQ,所以四边形PQEF为矩形,同理四边形PQGH为矩形.在所建立的坐标系中可求得|PH|=2(1-b),|PF|=2b,所以|PH|+|PF|=2,又|PQ|=1,所以截面PQEF和截面PQGH的面积之和为2,是定值.(3)解由(1)知'AD＝(－1,0,1)是平面PQEF的法向量．由P为AA′的中点可知，Q、E、F分别为BB′、BC、AD的中点．所以E（12，1，0,），'DE＝12，1，－1，因此D′E与平面PQEF所成角的正弦值等于|cos〈AD′→,'DE＝22.