第3章近独立粒子的量子统计习题解答

1第3章近独立粒子的量子统计（最该然统计理论Ⅱ）习题解答3-1一系统由两个独立粒子组成,每个粒子可处于能量为EE2,,0的任一状态中,系统与大热源相平衡.试分别写出下列条件下系统的配分函数:(1)粒子是可分辨的;(2)粒子是不可分辨的Bose子;(3)粒子是不可分辨的Fermi子.【解】：(1)、粒子可分辨，系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：用系统配分函数sEseZ可得;EEEEEEEEEEEEEEEEeeeeeeeeeeeee4322220022200002321Z(2)、粒子是不可分辨的Bose子，量子态上对粒子数没有限制。系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：用系统配分函数sEseZ可得;EEEEeeee43221Z（3）、粒子是不可分辨的Fermi子，每个量子态上最多容纳一个粒子。系统与大热源相平衡.，说明系统温度一定，而系统能量不没限制，所以粒子在能级上的各种可能的分布为：2EE0系统0EE2E4E2E2E3E3E能级2EE0系统02E4EE2E3E能级系统E2E3E能级2EE02用系统配分函数sEseZ可得;EEEeee32Z3-2试证明:对于理想Bose气体和理想Fermi气体有下列关系:UPV32,而对于光子气体有下列关系:UPV31,并分析两式不同的原因,其中,P、V、U分别为气体的压强、体积和内能.【解法一】：（1）处在边长为L的立方体中的理想Bose气体和理想Fermi气体，粒子的能量本征值为)()2(21222222zyxnnnnnnLmmpzyx，zyxnnn,,=0，±1，…可记为)(2)2(,,2222332zyxlnnnmaLVaV所以UVaVVaPllllll3232，即：UPV32（2）处在边长为L的立方体中的光子气体，光子的能量本征值为21222)(2zyxnnnnnnLccpzyx，zyxnnn,,=0，±1，±2，…可记为21222331)(2,,zyxlnnnchaLVaV所以UVaVVaPllllll3131，即：UPV31两式不同的原因是：理想Bose气体和理想Fermi气体的粒子速度较低，属于非相对论粒子，而光子速度很大，是相对论粒子。【解法二】：（1）、设理想Bose气体和理想Fermi气体自旋简并度为g，则：所以在d的能量范围内的量子态数为dmhVgdD2123322所以系统内能为0232330122demhVgdDfUs，Bose气体取“+”，Fermi气体取“-”由ln1VP可得lnkTPV,又因为llelll]1[3所以]1ln[lnlnlellll，Bose气体取“-”，Fermi气体取“+”在宏观体积内，粒子能量是准连续的dDll;；所以0021233]1ln[22]1ln[lndemhVkTgdeDkTkTPVll而023023023021132132]1ln[32]1ln[dekTdeeedellll所以UdemhVgPV3212232023233（2）、对于光子气体cp,0，则：所以在d的能量范围内的量子态数为dchVdD2334所以光子气体系统内能为0330134dechVdDfUs，又由ln1VP可得lnkTPV,又因为llelll]1[所以]1ln[lnlnlellll，在宏观体积内，粒子能量是准连续的dDll;所以00233]1ln[4]1ln[lndechVkTdeDkTkTPVll而03030302131131]1ln[31]1ln[dekTdeeedellll所以UdechVPV3114310333两式不同的原因是：理想Bose气体和理想Fermi气体的粒子速度较低，属于非相对论粒子，而光子速度很大，是相对论粒子。3-3电子气体中电子的质量为m,Fermi能级为0E.求绝对零度下电子气体中电子的平均速度和电子气体的压强.【解】(1)、对自由电子，考虑到自旋后，在体积V内，动量大小在dppp4范围内的量子态密度dppVdppD238利用mvp，可得到速率在dvvv范围内的量子态密度dvvmVdvvD2338考虑到KT0时电子按速率的分布函数FFvvvvvf,0,1Fv为KT0时电子的费米速率，它与费米能级0E的关系2210FmvE由此可求得KT0时电子的平均速率mEvdvvDvfdvvDvvfdvvDvfdvvDvvfvFvvFF0000024343（2）、0k时,电子按能级分布00,0,1EEf电子气的内能为：2502/3302/32/33242400EmhVdmhVUE而且3/2223/222002/12/333232240nmVNmENdmhVE所以3/22232530VNmNU又因为0k时PdVTdSdUdFUTSUF所以0k时电子气的压强为0353/222353/2225232523253320nEVNmVNmNVUVFP3-4银的传导电子密度为328/109.5m。试求0K时电子的最大能量、最大速率和电子气体的压强.【解】：0k时,电子按能级分布00,0,1EEf（1）、电子的最大能量为费米能级0E由3/202/12/33024NdmhVE解得5eVJnmVNmE6.5109.53101.9210055.132323/23/228231234223/2220（2）、最大速率由2021mmvE得：smmEvm/104.1260（3）、电子气的内能为：2502/3302/32/33242400EmhVdmhVUE而且3/2223/222002/12/333232240nmVNmENdmhVE所以3/22232530VNmNU又因为PdVTdSdUdFUTSUF所以0k时电子气的压强为PanmVNmNVUVFP10353/222353/222101.2325232533203-5假设自由电子在二维平面上运动，密度为n，试求0K时二维电子气体的费米能量、内能和压强.【解】：（1）、在面积为2LA的二维平面上运动的电子，在面积2LA内，动量范围yyyxxxdpppdppp,的量子态数为22222222hdAmsdhApdpdhdpAdphdpdxdydpyxAyx所以在d的能量范围内的二维自由电子量子态数为dhAmhdAmddD202420k时,电子按能级分布FFf,0,1总电子数FhAmdhAmdDfNF202044所以0K时二维电子气体的费米能量：nmhANmhF4422（2）、0k时二维电子气的内能为6FFNhAmdhAmdDfUf212144022020（3）、因为0k时PdATdSdUdFUTSUF所以0k时电子气的压强为FFnnmhnANmhNAnmhNANAUAFP214214214212102222