2000年数学建模B题钢管订购和运输

1关于下面3个问题（可以是其中某个小问题），试分别建立模型。包括给出问题分析和建模思路、模型假设、变量说明、模型建立。不需要求解。1B题钢管订购和运输要铺设一条1521AAA的输送天然气的主管道,如图一所示(见反面)。经筛选后可以生产这种主管道钢管的钢厂有721,,SSS。图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道(假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路)，圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程(单位km)。为方便计，1km主管道钢管称为1单位钢管。一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位。钢厂iS在指定期限内能生产该钢管的最大数量为is个单位，钢管出厂销价1单位钢管为ip万元，如下表：i1234567is80080010002000200020003000ip1601551551601551501601单位钢管的铁路运价如下表：里程(km)≤300301～350351～400401～450451～500运价(万元)2023262932里程(km)501～600601～700701～800801～900901～1000运价(万元)37445055601000km以上每增加1至100km运价增加5公路运输费用为1单位钢管每公里0.1万元（不足整公里部分按整公里计算）。钢管可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521,,,AAA，而是管道全线）。（1）请制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用)。（2）请就（1）的模型分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果。（3）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二按（1）的要求给出模型和结果。2A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A911A11A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7图一A13258010103120124270108810706270302020304501043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18A20(A21)图二3问题分析问题一，首先，所有钢管必须运到天然气主管道铺设路线上的节点1521AAA，然后才能向左或右铺设。必须求出每个钢管厂721,,SSS到每个节点1521AAA的每单位钢管的最小运输费用。问题二，通过问题一里面Lingo编程运行得出的结果，分析哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大。问题三，利用同问题一一样的方法，从而可求出某钢厂到某某铺设点运输单位钢管的最少运输费用。（具体算法及程序见附录）1)基本假设:○1要铺设的管道侧有公路，可运送所需钢管。○2钢管在运输中由铁路运转为公路运时不计中转（换车）费用；○3所需钢管均由)7,...,1(iSi钢厂提供；④假设运送的钢管路途中没有损耗。2)符号说明:iS:钢厂iS的最大生产能力;ip:钢厂iS的出厂钢管单位价格(单位:万元);d:公路上一单位钢管的每公里运费(d=0.1万元);e:铁路上一单位钢管的运费(分段函数见表1);ijc:1单位钢管从钢厂iS运到jA的最小费用(单位:万元);jb:从jA到1jA之间的距离(单位:千米);ijx:钢厂iS运到jA的钢管数;yj:运到jA地的钢管向左铺设的数目;4jZ：运到jA地的钢管向右铺设的数目;it:=不提供钢管；，钢厂提供钢管；，钢厂iiS0S1W:所求钢管订购、运输的总费用(单位:万元);模型的建立与求解问题一的模型：目标函数是总费用W,它包含三项:钢管出厂总价Q,运输费P,及铺设费T.即W=Q+P+T其中ijijixpQ71151，ijijijxcP71151，铺设费T可以如下来确定：jA开始从左右两个方向铺设，jy与zj单位长钢管的费用为(1)12...2jjjyydddyd与(1)2jjzzd故1511122jjjjjyyzzTd目标函数为：715715151111111min22jjjjiijijijijijjyyzzWpxcxd约束条件为:①生产能力的限制:iijijitsxt151500，)7,...,1(i)10(或it②运到jA的钢管用完:71ijjjixyz，)15,...,1(j③jA与j-1A之间的钢管:j1jjzyb，)14,...,1(j④变量非负性限制:0,0,0jijjxyz,)15,...,1,7,...,1(ji⑤运到jA的钢管整数限制:Nxij5模型一715715151111111min22jjjjiijijijijijjyyzzWpxcxds.t.iijijitsxt151500，)7,...,1(i)10(或it71ijjjixyz，)15,...,1(jj1jjzyb，)14,...,1(j1y=0,15z=00,0,0jijjxyz,)15,...,1,7,...,1(jiit=0或1(i=1,..,7)d=0.05;问题三的模型由于树形图的出现，则某些管道处会出现多支路。则模型一中模型的jL，jR不再适用，此时可考虑多增加一些支路变量，并增加约束，在目标函数中增加相应的铺设费。目标函数：72172111111514991717111121min111(1)122222iijijijijijjjjjjjWpxcxyyzzmmmmd（m）（m）约束条件：①生产能力的限制:iijijitsxt211500)7,...,1(i)10(或it②运到jA的钢管用完:71ijjjixyz)17,11,921,...,1(jj且671ijjjjixyzm)17,11,9(j③jA与1jA之间的钢管:j1jjzyb)14,...,1(j91642my1117m10m1718130yy1719190zy1920260zy2021100zy④变量非负性限制:0,0,0,0jjijjxyzm,)21,...,1,7,...,1(ji⑤运到jA的钢管整数限制:Nxij模型二72172111111514991717111121min111(1)122222iijijijijijjjjjjjWpxcxyyzzmmmmd（m）（m）s.t.211500(1,..,7)iijiijtxsti71ijjjixyz)17,11,921,...,1(jj且71ijjjjixyzm)17,11,9(jj1jjzyb)14,...,1(j91642my1117m10m1718130yy1719190zy1920260zy2021100zy0,0,0,0jjijjxyzm,)21,...,1,7,...,1(ji01it或(i=1,..,7)d=0.05;78