第3讲数列极限存在条件2009

《数学分析I》第3教案1第3讲数列极限性质(续)与极限存在的条件授课题目数列极限性质（续）与极限存在的条件教学内容1.数列极限的迫敛性，2.四则运算法则，3.数列的单调有界收敛定理，4.数列的柯西收敛准则，5.重要极限1lim(1)nnn.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地理解数列极限的迫敛性、四则运算法则，单调有界定理。并会用这些性质计算具体的数列极限；会用单调有界定理证明数列极限的存在性，了解柯西收敛准则的直观意义．教学重点及难点教学重点：数列极限的性质，单调有界定理，重要极限1lim(1)nnn；教学难点：数列极限性质的分析证明.教学方法及教材处理提示(1)本讲的重点是数列极限的性质的证明与运用．多布置利用这些性质求具体数列极限的习题．(2)数列极限性质的分析证明又是教学难点．对较好的学生，要求能够掌握这些性质的证明方法，并且会用这些性质计算较复杂的数列极限，例如：nlimnn1，等．(3)数列单调有界定理是本讲的另一个重点．对多数学生要求会用单调有界定理证明数列极限的存在性．通过对重要极限1lim(1)nnn存在的证明讲授，使学生加深单调有界定理的了解，应布置相关习题.(4)关于数列柯西收敛准则作淡化处理．主要讲清柯西收敛准则的直观意义，只能要求部分好学生能够用柯西收敛准则判别数列的敛散性．(5)关于子数列概念及相关结论以习题的形式安排在习题课上讲授.作业布置作业内容：教材33P:1（4,5,6）2,4(4,6).39P:1（2,4），3（1,3）.讲授内容一、收敛数列的性质（续）定理6.2(迫敛性)设收敛数列nnba,都以a为极限，数列nc满足：存在正数0N，当0Nn时有nnnbca，则数列nc收敛，且acnnlim．注：定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具．例1求nnn)12sin(2lim例1求数列{nn}的极限．解：记nnnhna1，这里10nhn，则有.2112nnnhnnhn由上式得1120nnhn，从而有12111nhann.《数学分析I》第3教案2数列121n是收敛于1的，故由迫敛性证得1limnnn．定理2.7(四则运算法则)若na与nb为收敛数列，则nnba，na{}nb，nnba.也都是收敛数列，且有nnnnnnnbabalimlimlim，.lim.lim.limnnnnnnnbaba特别当nb为常数c时有.limlim,limlimnnnnnnnnaccacaca若再假设0nb及0limnnb，则nnba也是收敛数列，且有nnnnnnnbabalimlimlim.证：设,lim,limbbaannnn则对任给的,0分别存在正数1N与2N，使得,nnba当,1Nn,bbn当.2Nn取,,max21NNN则当Nn时上述两不等式同时成立，从而有1．.lim2bababbaababannnnnnn2．.bbabaabbabaaabbannnnnnnn由收敛数列的有界性定理，存在正数M，对一切n有Mbn.于是，当Nn时，可得aMabbann.由的任意性，得abbannnlim.例2求01110111limbnbnbnbanananakkkkmmmmn，其中km，0,0kmba．解：.,0,,lim1110111mkmkbabbnbnbaananammnnkkkknmmmm例3求,1limnnnaa其中1a.解：若,1a则显然有211limnnnaa;若1a,则01limlimlim1limnnnnnnnnaaaa，若1a,则.1011111lim1limnnnnnaaa例4求.1limnnnn解：nlim.211111lim1nnnnn二、数列极限存在的条件定理2.9(单调有界定理)在实数系中，有界的单调数列必有极限．《数学分析I》第3教案3证：不妨设na为有上界的递增数列．由确界原理，数列na有上确界，记naasup．下面证明a就是na的极限．事实上，任给0，按上确界的定义，存在数列na中某一项Na，使得naa．又由na的递增性，当Nn时有nNaaa．另一方面，由于a是na的一个上界，故对一切na都有aaan．所以当Nn时有aaan，即aannlim．同理可证有下界的递增数列必有极限，且其极限即为它的下确界．例5设,,2,1,131211nnaaaan其中实数2a．证明数列na收敛．证：显然na是递增的，下证na有上界．事实上，nnnan113212111131211222nn11131212111212n，（n1,2,.），于是由单调有界定理，na收敛．例6证明数列,222,22,2个根号n收敛，并求其极限．证：记222na，易见数列na是递增的．现用数学归纳法来证明na有上界．显然221a．假设2na，则有22221nnaa，从而对一切n有2na，即na有上界．由单调有界定理，数列na有极限，记为a．由于nnaa221，对上式两边取极限得aa22，即有021aa，解得1a或2a．1a是不可能的，故有：nlim2222．例7证明nnn)11(lim存在.证：先建立一个不等式．设0ab，对任一正整数n有)()1(11abbnabnnn,整理后得不等式.])1[(1nbanbann.（1）以nbna11,111代入(1)式.由于1)11()111)(1()1(nnnnnban,故有nnnn)11()111(1.这就证明了})11{(nn为递增数列.再以nba211,1代人(1)式，得)211()1()1(nnnnban21.故有《数学分析I》第3教案442112121112nnnn.上式对一切正整数n都成立,即对一切偶数n有411nn.联系到该数列的单调性，可知对一切正整数n都有411nn，即数列nn11有上界．于是由单调有界定理推知数列{nn)11(}是收敛的.通常用拉丁字母e代表该数列的极限，即ennn)11(lim,它是一个无理数，其前十三位数字是.597182818284.2e.以e为底的对数称为自然对数，通常记xxelogln定理2.10(柯西(Cauchy)收敛准则)数列}{na收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N，使得当Nmn,时有mnaa．这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题，它的证明将在第七章给出．柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数．或者形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起．另外，柯西收敛准则把N定义中na与a的关系换成了na与ma的关系，其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收)敛(发)散性．例5证明：数列222131211nan，,,2,1n是收敛的.证：不妨设,mn则有|mnaa|=2221)2(1)1(1nmmnnmm)1(1)1(1mnm111对任给的,0，取1N，则对一切Nmn.有||mnaa这就证明了此数列满足柯西条件，所以数列收敛.