第4章学案21二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换

-1-学案21二倍角的三角函数及简单的三角恒等变换导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并熟练应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简单的恒等变换．自主梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝______________；(2)cos2α＝________________＝________________－1＝1－________________；(3)tan2α＝____________________(α≠kπ2＋π4且α≠kπ＋π2)．公式的逆向变换及有关变形(1)sinαcosα＝________________⇒cosα＝sin2α2sinα；(2)降幂公式：sin2α＝________________，cos2α＝______________；升幂公式：1＋cosα＝______________，1－cosα＝______________；变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝________________.自我检测1．已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为________．2．已知x∈(－π2，0)，cosx＝45，则tan2x＝________.3．函数y＝(sinx－cosx)2－1的最小正周期为________．4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．5．函数f(x)＝cos2x－2sinx的最小值和最大值分别为________和________．探究点一三角函数式的化简例1求函数y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x的最大值和最小值．变式迁移1(2010·泰安一模)已知函数f(x)＝4cos4x－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x.(1)求f－11π12的值；(2)当x∈0，π4时，求g(x)＝12f(x)＋sin2x的最大值和最小值．探究点二三角函数式的求值例2已知sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝14，α∈(π4，π2)，求2sin2α＋tanα－1tanα－1的值．-2-变式迁移2(1)已知α是第一象限角，且cosα＝513，求sinα＋π4cos2α＋4π的值．(2)已知cos(α＋π4)＝35，π2≤α3π2，求cos(2α＋π4)的值．探究点三三角恒等式的证明例3(2010·苏北四市模拟)已知sin(2α＋β)＝3sinβ，设tanα＝x，tanβ＝y，记y＝f(x)．(1)求证：tan(α＋β)＝2tanα；(2)求f(x)的解析式；(3)若角α是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域．变式迁移3求证：sin2xsinx＋cosx－1sinx－cosx＋1＝1＋cosxsinx.转化与化归思想例(14分)(2010·江西)已知函数f(x)＝1＋1tanxsin2x＋msinx＋π4sinx－π4.(1)当m＝0时，求f(x)在区间π8，3π4上的取值范围；(2)当tanα＝2时，f(α)＝35，求m的值．(满分：90分)-3-一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知0απ，3sin2α＝sinα，则cos(α－π)＝______.2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4＝________.3．(2011·淮安模拟)已知cos2α＝12(其中α∈－π4，0)，则sinα的值为________．4．若f(x)＝2tanx－2sin2x2－1sinx2cosx2，则fπ12的值为________．5．(2010·福建厦门外国语学校高三第二次月考)在△ABC中，若cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，则sinB的值是________．6．(2011·镇江模拟)已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值是________．7．函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．8．若cos2αsinα－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)化简：(1)cos20°cos40°cos60°cos80°；(2)3－4cos2α＋cos4α3＋4cos2α＋cos4α.10．(14分)(2010·南京一模)设函数f(x)＝3sinxcosx－cosxsinπ2＋x－12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．11．(14分)(2010·北京)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．答案自主梳理(1)2sinαcosα(2)cos2α－sin2α2cos2α2sin2α(3)2tanα1－tan2α(1)12sin2α(2)1－cos2α21＋cos2α22cos2α22sin2α2(sinα±cosα)2自我检测1．－35-4-解析原式＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝－35.2．－247解析∵x∈(－π2，0)，cosx＝45，∴sinx＝－35，tanx＝－34，tan2x＝2tanx1－tan2x＝－247.3．π解析y＝sin2x－2sinxcosx＋cos2x－1＝－sin2x，∴T＝π.4．－2sin4解析原式＝4cos24＋2sin4－cos42＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|＝－2sin4.5．－332解析f(x)＝cos2x－2sinx＝1－2sin2x－2sinx＝－2sinx＋122＋32，则sinx＝－12时，f(x)最大＝32；sinx＝1时，f(x)最小＝－3.课堂活动区例1解题导引化简的原则是形式简单，三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．本题要充分利用倍角公式进行降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键．解y＝7－4sinxcosx＋4cos2x－4cos4x＝7－2sin2x＋4cos2x(1－cos2x)＝7－2sin2x＋4cos2xsin2x＝7－2sin2x＋sin22x＝(1－sin2x)2＋6，由于函数z＝(u－1)2＋6在[－1,1]中的最大值为zmax＝(－1－1)2＋6＝10，最小值为zmin＝(1－1)2＋6＝6，故当sin2x＝－1时，y取得最大值10，当sin2x＝1时，y取得最小值6.变式迁移1解(1)f(x)＝1＋cos2x2－2cos2x－1sinπ4＋xsinπ4－x＝cos22xsinπ4＋xcosπ4＋x＝2cos22xsinπ2＋2x＝2cos22xcos2x＝2cos2x，∴f－11π12＝2cos－11π6＝2cosπ6＝3.(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.∵x∈0，π4，∴2x＋π4∈π4，3π4，∴当x＝π8时，g(x)max＝2，当x＝0时，g(x)min＝1.例2解题导引(1)这类问题一般是先化简再求值；化简后目标更明确；-5-(2)如果能从已知条件中求出特殊值，应转化为特殊角，可简化运算，对切函数通常化为弦函数．解由sin(π4＋2α)·sin(π4－2α)＝sin(π4＋2α)·cos(π4＋2α)＝12sin(π2＋4α)＝12cos4α＝14，∴cos4α＝12，又α∈(π4，π2)，故α＝5π12，∴2sin2α＋tanα－1tanα－1＝－cos2α＋sin2α－cos2αsinαcosα＝－cos2α＋－2cos2αsin2α＝－cos5π6－2cos5π6sin5π6＝532.变式迁移2解(1)∵α是第一象限角，cosα＝513，∴sinα＝1213.∴sinα＋π4cos2α＋4π＝22sinα＋cosαcos2α＝22sinα＋cosαcos2α－sin2α＝22cosα－sinα＝22513－1213＝－13214.(2)cos(2α＋π4)＝cos2αcosπ4－sin2αsinπ4＝22(cos2α－sin2α)，∵π2≤α3π2，∴3π4≤α＋π47π4.又cos(α＋π4)＝350，故可知3π2α＋π474π，∴sin(α＋π4)＝－45，从而cos2α＝sin(2α＋π2)＝2sin(α＋π4)cos(α＋π4)＝2×(－45)×35＝－2425.sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－2×(35)2＝725.∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝22×(－2425－725)＝－31250.例3解题导引本题的关键是第(1)小题的恒等式证明，对于三角条件恒等式的证明，我们要注意观察、分析条件恒等式与目标恒等式的异同，特别是分析已知和要求的角之间的关系，再分析函数名之间的关系，则容易找到思路．证明三角恒等式的实质就是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简，左右归一或变更论证．对于第(2)小题同样要从角的关系入手，利用两角和的正切公式可得关系．第(3)小题则利用基本不等式求解即可．-6-解(1)由sin(2α＋β)＝3sinβ，得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα，∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，∴tan(α＋β)＝2tanα.(2)由(1)得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2tanα，即x＋y1－xy＝2x，∴y＝x1＋2x2，即f(x)＝x1＋2x2.(3)∵角α是一个三角形的最小内角，∴0α≤π3，0x≤3，设g(x)＝2x＋1x，则g(x)＝2x＋1x≥22(当且仅当x＝22时取“＝”)．故函数f(x)的值域为(0，24]．变式迁移3证明因为左边＝2sinxcosx[sinx＋cosx－1][sinx－cosx－1]＝2sinxcosxsin2x－cosx－12＝2sinxcosxsin2x－cos2x＋2cosx－1＝2sinxcosx－2cos2x＋2cosx＝sinx1－cosx＝sinx1＋cosx1－cosx1＋cosx＝sinx1＋cosxsin2x＝1＋cosxsinx＝右边．所以原等式成立．课后练习区1．－16解析∵0απ，3sin2α＝sinα，∴6sinαcosα＝sinα，又∵sinα≠0，∴cosα＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－16.2.322解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－β－π4.所以tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝322.-7-3．－12解析∵12＝cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝14.又∵α∈－π4，0，∴sinα＝－12.4．8解析f(x)＝2tanx＋1－2sin2x212sinx＝2tanx＋2cosxsinx＝2sinxcosx＝4sin2x，∴fπ12＝4sinπ6＝8.5.32解析由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0化简变形，得2cos2B－3cosB＋1＝0，∴cosB＝12或cosB＝1(舍)．∴sinB＝32.6．－79解析cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin2(π6－α)]＝－79.7．1－2解析∵y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin2x＋π4＋1，∴当sin(2x＋π4)＝－1时，函数取