第4章振动

1第四章振动P174．4．1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s．当t=0时，物体的位移x=0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t=T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x=-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x=Acos(ωt+φ)，其中A=0.12m，角频率ω=2π/T=π．当t=0时，x=0.06m，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3．物体的速度为v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)．当t=0时，v=-ωAsinφ，由于v0，所以sinφ0，因此φ=-π/3．简谐振动的表达式为x=0.12cos(πt–π/3)．（2）当t=T/4时物体的位置为x=0.12cos(π/2–π/3)=0.12cosπ/6=0.104(m)．速度为v=-πAsin(π/2–π/3)=-0.12πsinπ/6=-0.188(m·s-1)．加速度为a=dv/dt=-ω2Acos(ωt+φ)=-π2Acos(πt-π/3)=-0.12π2cosπ/6=-1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x=-0.06m时，可得cos(πt1-π/3)=-0.5，因此πt1-π/3=±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v0，所以sin(πt1-π/3)0，因此πt1-π/3=2π/3，得t1=1s．当物体从x=-0.06m处第一次回到平衡位置时，x=0，v0，因此cos(πt2-π/3)=0，可得πt2-π/3=-π/2或3π/2等．由于t20，所以πt2-π/3=3π/2，可得2t2=11/6=1.83(s)．所需要的时间为Δt=t2-t1=0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x=-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x=0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x=0，v0，因此cos(πt-π/3)=0，可得πt-π/3=π/2，解得t=5/6=0.83(s)．[注意]根据振动方程x=Acos(ωt+φ)，当t=0时，可得φ=±arccos(x0/A)，（-πφ≤π），初位相的取值由速度决定．由于v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)，当t=0时，v=-ωAsinφ，当v0时，sinφ0，因此φ=-arccos(x0/A)；当v0时，sinφ0，因此φ=arccos(x0/A)．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0=A时，φ=0；当初位置x0=-A时，φ=π．4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x=AcosΦ，其中A表示振幅，Φ=ωt+φ表示相位．由于xa=A，所以cosΦa=1，因此Φa=0．由于xb=A/2，所以cosΦb=0.5，因此Φb=±π/3；OtxabcdeA/2A图6.23由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb=π/3．由于xc=0，所以cosΦc=0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc=π/2．同理可得其他两点位相为Φd=2π/3，Φe=π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta=T/6．到达b点的时刻为tb=2ta=T/3．到达c点的时刻为tc=ta+T/4=5T/12．到达d点的时刻为td=tc+T/12=T/2．到达e点的时刻为te=ta+T/2=2T/3．（2）设振动表达式为x=Acos(ωt+φ)，当t=0时，x=A/2时，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ=-π/3，因此振动表达式为cos(2)3txAT．另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于xf=0，根据运动方程，可得cos(2)03tT所以232ftT．显然f点的速度大于零，所以取负值，解得OxaAbcdeφOtxabcdeA/2Af4tf=-T/12．从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时刻为ta=T/4+tf=T/6，其位相为203aatT．由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3如图所示，质量为10g的子弹以速度v=103m·s-1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k=8×103N·m-1，木块的质量为4.99kg，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅；（2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即mv=(m+M)v0．解得子弹射入后的速度为v0=mv/(m+M)=2(m·s-1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得(m+M)v02/2=kA2/2，所以振幅为0mMAvk=5×10-2(m)．（2）振动的圆频率为kmM=40(rad·s-1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为x=Acos(ωt+φ)．当t=0时，x=0，可得φ=±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为x=5×10-2cos(40t-π/2)(m)．4．4如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t=0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为2vgh，物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为kMmv图4.9502mmvvghmMmM，这也是它们振动的初速度．设振动方程为x=Acos(ωt+φ)，其中圆频率为kmM．物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则x1=Mg/k．物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x2，则x2=(M+m)g/k．取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x0=x1-x2=-mg/k．因此振幅为22220022()()vmgghmAxkkmM21()mgkhkmMg；初位相为002arctan()vkhxmMg．4．5重量为P的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）前面已经证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k=k1k2/(k1+k2)，因此固有频率为2π12πkm121212()kkgkkP．（2）前面还证明：当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为2π121222kkgmP．4．6一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为Ic=mR2．根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为k1k2kk(a)(b)图4.5kMmhxx1x2O图4.4CRmgθO6I=Ic+mR2=2mR2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为M=-mgRsinθ，方向与角度θ增加的方向相反．根据转动定理得Iβ=M，即22dsin0dImgRt，由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得微分方程22d0dmgRtI．摆动的圆频率为mgRI，周期为2πT222IRmgRg．方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为Ep=mg(R-Rcosθ)，绕O点的转动动能为2k12EI，总机械能为21(cos)2EImgRR．环在转动时机械能守恒，即E为常量，将上式对时间求导，利用ω=dθ/dt，β=dω/dt，得0=Iωβ+mgR(sinθ)ω，由于ω≠0，当θ很小有sinθ≈θ，可得振动的微分方程22d0dmgRtI，从而可求角频率和周期．[注意]角速度和圆频率使用同一字母ω，不要将两者混淆．4．74．8质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3xt的规律作振动，式中t以秒(s)计，x以米(m)计．求：（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相；（2）振动的速度、加速度的最大值；7（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置．[解答]（1）比较简谐振动的标准方程x=Acos(ωt+φ)，可知：圆频率为ω=8π，周期T=2π/ω=1/4=0.25(s)，振幅为A=0.1(m)，初位相为φ=2π/3．（2）速度的最大值为vm=ωA=0.8π=2.51(m·s-1)；加速度的最大值为am=ω2A=6.4π2=63.2(m·s-2)．（3）弹簧的倔强系数为k=mω2，最大回复力为f=kA=mω2A=0.632(N)；振动能量为E=kA2/2=mω2A2/2=3.16×10-2(J)，平均动能和平均势能为kpEE=kA2/4=mω2A2/4=1.58×10-2(J)．（4）如图所示，当t为1，2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．4．9一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m=1.68×10-27kg，振动频率v=1.0×1014Hz，振幅A=1.0×10-11m．试计算：（1）此氢原子的最大速度；（2）与此振动相联系的能量．[解答]（1）氢原子的圆频率为ω=2πv=6.28×1014(rad·s-1)，最大速度为vm=ωA=6.28×103(m·s-1)．（2）氢原子的能量为212mEmv=3.32×10-20(J)．4．10质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k=25N·m-1，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求：（1）振幅；（2）位移多大时，动能恰等于势能？Oxt=1,2,10sA8（3）经过平衡位置时的速度．[解答]物体的总能量为E=Ek+Ep=0.8(J)．（1）根据能量公式E=kA2/2，得振幅为2/AEk=0.253(m)．（2）当动能等于势能时，即Ek=Ep，由于E=Ek+Ep，可得E=2Ep，即2211222kAkx，解得2/2xA=±0.179(m)．（3）再根据能量公式E=mvm2/2，得物体经过平衡位置的速度为m2/vEm=±2.53(m·s-1)．4．11两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．[解答]设它们的振动方程为x=Acos(ωt+φ)，当x=A/2时，可得位相为ωt+φ=±π/3．由于它们在相遇时反相，可取Φ1=(ωt+φ)1=-π/3，Φ2=(ωt+φ)2=π/3，它们的相差为ΔΦ=Φ2–Φ1=2π/3，或者ΔΦ'=2π–ΔΦ=4π/3．矢量图如图所示．4．12两个频率和振幅都相同的简谐振动的x-t曲线如图所示，求：（1）两个简谐振动的位相差；（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程．[解答]（1）两个简谐振动的振幅为A=5(cm)，OxA9周期为T=4(s)，圆频率为ω=2π/T=π/2，它们的振动方程分别为x1=Acosωt=5cosπt/2，x2=