第4章随机过程通过线性系统分析

44第4章随机过程通过线性系统分析引言：信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图，图1：系统的物理示意图)(tx是系统的输入，)(ty是系统的输出，)(th是系统的冲激响应函数)]([)(tLth其中000)(ttt，为冲激函数。对于线性系统，系统的数学运算为：)()()(txthty在卷积运算中，)(tx、)(ty、)(th是函数，是确定性的信号。问题：在实际工程中，输入)(tx与输出)(ty是随机过程的一个样本函数，具有不确定性。4．1线性系统的基本理论1．系统的物理表示系统的物理示意图如图1。2．线性系统)(1tx、)(2tx是系统的两个输入，若：)]([)]([)]()([22112211txLtxLtxtxL则称系统][L为线性系统。3．时不变系统对于常数c，ct是一个时移（时延）。若)]([)(ctxLcty称系统][L为时不变系统。输入)(tx][L输出)(ty454．时不变线性系统（1）线性时不变系统的冲激响应对于时不变线性系统，有：)]([)(ctLcth（2）时不变系统的数学运算)(tx是系统的输入，)(ty是系统的输出，)(th是系统的冲激响应函数。对于时不变系统，)(tx、)(ty、)(th三者的关系为：)()()()()(txthdtxhty（3）时不变线性系统的传输函数由)()()(txthty有：)()()(XHY)(X、)(Y、)(H分别为)(tx、)(ty、)(th的付里叶变换。称)(H为系统的传输函数。4．2随机过程通过线性系统基本假设：系统输入)(tX是随机过程，系统输出)(tY也是随机过程。1、系统的形式表达对于系统输入随机过程)(tX的一个样本函数)(tx，有dtxhty)()()()(ty是系统输出随机过程)(tY的一个样本函数。由于)(tx、)(ty具有随机性，我们可以用随机过程的积分形式来表达系统的关系：dtXhtY)()()(这一表达在形式上具有方便性，但在计算上较困难。2、输出均值随机过程难以把握，应用的重点是随机过程的均值与相关。定理：)()()(tmthtmXY证明：略463、系统输入与输出间的互相关函数定理：)(),(),()(),(2212121thttRduuttRuhttRXXXY证明：略4、系统输出的自相关函数定理：),()()(),()()(),(21212121ttRththdudvvtutRvhuhttRXXY证明：略5、平稳随机过程通过线性系统定理：平稳过程)(tX通过线性系统，产生的输出)(tY也是平稳随机过程，输出的均值与相关为：（1）dhmmXY)(（2）)()()()(hhRRXY6、遍历性过程通过线性系统定理：若)(tX是遍历性过程，则)(tY也是遍历性过程，即：若XmtX)(，)()()(XRtXtX，则YmtY)(，)()()(YRtYtY7、系统输出的功率谱密度（1）系统输出的功率谱密度由)()()()(hhRRXY有2)()()(HSSXY（2）系统输入与输出的互功率谱密度由)()()(hRRXXY有)()()(HSSXXY474．3白噪声通过线性系统噪声始终伴随着信号的输入与输出。对噪声的输入与输出进行时域与频域分析，有利于信号去噪。1．白噪声系统输出功率谱密度与自相关设)(tN为白噪声输入，)(th为冲激响应，)(H为传输函数，)(tY为系统输出。白噪声)(tN的功率谱密度为2)(0NSN输出)(tY的功率谱密度为20)(2)(HNSN输出)(tY的自相关函数为deHNdeSRjjYY20)(4)(21)(输出)(tY的平均功率为02020)(2)(4)0(dHNdHNRY以上表明，白噪声输出的时域特性与频域特性都骨传输函数)(H决定。当)(H为简单情况时，其分析则明了。2．等效噪声带宽在实际应用中，有时只考虑系统输出的噪声功率。为分析计算方便，常常用一个理想系统来等效代替实际系统。这种理想系统的传输函数在其通带内为常数，而通带外为0。这样，系统的输出也就成为在一定频带内具有均匀谱密度的噪声（即带限白噪声）等效原则：理想系统与实际系统的输出平均功率相等。例：设理想输出为)(1tY，理想系统是矩形传输函数其它0)0()(1eHHe为等效带宽。如何确定e？48依等效原则，理想系统的平均功率为)0()0(1YYRR，而20020020)0(2)0(2)(2)0(e1HNdHNdHNReY020)(2)0(dHNRY所以202)0()(HdHe称e为等效噪声带宽。3．白噪声通过理想低通线性系统其它02/)(AH在实际应用中，设2/02/0)(AH白噪声的谱密度为：其它00)(0NSN输出)(tY的功率谱密度为其它02/0)(20ANSY输出)(tY的相关函数为：22202/02020sin4cos2)(4)(21)(ANdANdeHNdeSRjjYY49输出)(tY的平均功率为4)0(20ANRY输出)(tY的自相关系统为22sin)(Yr相关时间为fRY2122)0(04．白噪声通过理想带通线性系统理想带通线性系统具有理想矩形频率特性其它02/)(0AH白噪声的谱密度为：其它00)(0NSN输出)(tY的功率谱密度为其它02/)(020ANSY输出)(tY的相关函数为：)cos(sin)cos(2)(4)(21)(02202/2/202000ANdANdeHNdeSRjjYY可写成)cos()()(0taRY)(ta称为相关函数的包络。50输出)(tY的平均功率为2)0(20ANRY输出)(tY的自相关系统为)cos(sin)(022Yr相关时间为fRY2122)0(05．白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统高斯频率特性表示为：2)(exp)(20AH是实际工程中常用的一种系统。白噪声的谱密度为：其它00)(0NSN输出)(tY的功率谱密度为2)(exp)(S2020ANY输出)(tY的相关函数为：)cos(4exp2)(02220ANRY514．4线性系统输出端随机过程的概率分布引言：当t固定时，系统输入)(tX与输出)(tY都是随机变量，对于随变量，最重要的是它的概率分布。但求输入)(tX与输出)(tY的概率分布不是一件容易的事，为使问题得到简化，一般我们假设)(tX服从正态分布。1、高斯随机过程通过线性系统定理：若系统输入)(tX服从高斯分布，则系统输出)(tY也服从高斯分布。证明：由于dthXtY)()()(上述积分可用极限形式表示：knkkkthXtY10)()(lim)(t、k固定时，)(kth为确定的常用，上式是正态变量)(kX的线性组合，而正态的线性组合还是正态分布。2．高斯过程的均值与方差近似计算对于高斯过程，只要均值与方差确定，则整个分布函数便确定。由于knkkkthXtY10)()(lim)(取定一个合适的N，利用kNkkkthXtY1)()()(可求出求出)(tY均值与方差的近似值。52作业：P1515.1，5.2，5.7，5.8，5.9，5.11，5.14，5.15，5.26，5.28。