理论力学-第4章空间力系.

12工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系；(b)图中去了风力为空间平行力系。迎面风力侧面风力b3第四章空间力系§4–1空间汇交力系§4–2空间力偶系§4–3力对点的矩与力对轴的矩§4–4空间一般力系向一点的简化§4–5空间一般力系简化结果的讨论§4–6空间一般力系的平衡方程及应用§4–7平行力系的中心与物体的重心习题课4一、力在空间轴上的投影与分解：1.力在空间的表示：力的三要素：大小、方向、作用点(线)大小：作用点：在物体的哪点就是哪点方向：由、、g三个方向角确定由仰角与俯角来确定。gFxyOFF§4-1空间汇交力系52、一次投影法（直接投影法）由图可知：gcos,cos,cosFZFYFXgcoscoscoscossinFFFXxygsincossinsinsinFFFYxygsincosFFZ3、二次投影法（间接投影法）当力与各轴正向夹角不易确定时，可先将F投影到xy面上，然后再投影到x、y轴上，即64、力沿坐标轴分解：若以表示力沿直角坐标轴的正交分量，则：zyxFFF,,zyxFFFF222ZYXFFZFYFXgcos,cos,coskZFjYFiXFzyx,,而：kZjYiXF所以：FxFyFz71、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求合力。即：合力等于各分力的矢量和inFFFFFR3212、解析法：由于代入上式合力由为合力在x轴的投影，∴kZjYiXFiiiikZjYiXRiiiiXixXRiyYRizZR二、空间汇交力系的合成：83、合力投影定理：空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。222222)()()(:ZYXRRRRzyx合力RRRRRRzyxgcos,cos,cos9三、空间汇交力系的平衡：0X0Y0Z称为平衡方程空间汇交力系的平衡方程∴解析法平衡充要条件为：∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。0iFR空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：10§4-2空间力偶系由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，所以空间力偶矩必须用矢量表示。一、力偶矩用矢量表示：力偶的转向为右手螺旋定则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。空间力偶是一个自由矢量。11[证]①作II//Ⅰ，cd//ab②作一对平衡力R,R'(在E点,且使-R=R')③由反向平行力合成得：F1与R合成得F2，作用在d点F1'与R'合成得F2'，作用在c点且R-F1=F2，R'-F1'=F2'④在I内的力偶（F1，F1'）等效变成II内的（F2，F2'）二、空间力偶的等效定理作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。12由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：①力偶矩的大小=②力偶矩的方向——与力偶作用面法线方向相同③转向——遵循右手螺旋规则。m三、空间力偶系的合成与平衡由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。合力偶矩=分力偶矩的矢量和13niinmmmmmm1321投影式为：0xm0ym0zmmmmmmmmmmmzyxzyxgcos,cos,cos;2220imm显然空间力偶系的平衡条件是：14在平面中：力对点的矩是代数量。在空间中：力对点的矩是矢量。[例]汽车反镜的球铰链§4-3力对点的矩与力对轴的矩一、力对点的矩的矢量表示面积AOBdFFmO2)(如果r表示A点的矢径，则：15即：力对点的矩等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。dFFrFrFmFrFmOO),sin()(,)(21kZjYiXF由于kzjyixrZYXzyxkjiFrFmO)(kFmjFmiFmkyXxYjxZzXizYyZzOyOxO)]([)]([)]([)()()(两矢量夹角为O16定义：它是代数量，方向规定+–的面积''2)()(BOAdFFmFmxyxyOz二、力对轴的矩结论：力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。)()()()(xyOxyzzzzFmFmFmFm[证]17力对//它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。18即：)(cos)(FmFmzOg)()]([FmFmzzO三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系面积由于AOBFmO2)([证]''2)()(BOAFmFmxyzz通过O点作任一轴Z，则：''cosBOAOABg由几何关系：''2cos2BOAOABg所以：19定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。)()(cos,)()(cos,)()(cosFmFmFmFmFmFmOzOyOxg222))(())(())(()(FmFmFmFmzyxOkFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)]([)]([)]([)(kFmjFmiFmzyx)()()(又由于所以力对点O的矩为：20把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。§4-4空间一般力系向一点简化nFFFF321,,设作用在刚体上有空间一般力系向O点简化（O点任选）21①根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系：和附加力偶系[注意]分别是各力对O点的矩。②由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。'',','321nFFFFnmmm,,21nmmm,,2122③合成得主矢即（主矢过简化中心O，且与O点的选择无关）合成得主矩即：（主矩与简化中心O有关）'',','321nFFFF'RiiFFR'''Rnmmm,,21OM)(iOiOFmmmOM23若取简化中心O点为坐标原点，则：主矢大小主矢方向根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:则主矩大小为：主矩方向：222222)()()(''''ZYXRRRRzyx'cos,'cos,'cosRZRYRXg)(])([;)(])([;)(])([FmFmmFmFmmmFmFmzzOOzyyOOyOxixxiO222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMM'cos,'cos,'cosg24空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。§4-5空间一般力系简化结果的讨论1、若,则该力系平衡（下节专门讨论）。0,0'OMR2、若则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。0,0'OMR3、若则力系可合成为一个合力，主矢等于原力系合力矢，合力通过简化中心O点。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）0,0'OMR'RRR254、若此时分两种情况讨论。即：①②OMR'OMR//'0,0'OMR由于做iOOOFRRMRMddRM合力,',①若时OMR')(dRMO可进一步简化，将MO变成(R'',R)使R'与R''抵消只剩下R。26②若时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）[例]①拧螺丝②炮弹出膛时炮弹螺线OMR//'③R′不平行也不垂直M0，最一般的成任意角在此种情况下，1首先把MO分解为M//和M2将M//和M分别按①、②处理。''27M使主矢R'搬家，搬家的矩离：'sin''RMRMOOO所以在O'点处形成一个力螺旋。因为M//是自由矢量，可将M//搬到O'处M//不变，28[注意]力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R′，M//简化中心为O时：为M当简化中心为O′时，为M′但M//总是不变的（它是原力系中的力偶与简化中心无关）29)(''RmROOMMOO)(iOOFmM主矩又)()(iOOFmRM)()(izzFmRM常用投影式空间力系向O点简化后得主矢R'和主矩MO,若MOR'，可进一步合成为一个作用在新简化中心O'点的合力R。空间力系的合力矩定理：30一、空间任意力系的平衡充要条件是：0)(iOOFmM00'FR222)()()('ZYXR又222))(())(())((FmFmFmMzyxO所以空间任意力系的平衡方程为：还有四矩式，五矩式和六矩式，同时各有一定限制条件。0)(,00)(,00)(,0FmZFmYFmXzyx§4-6空间一般力系的平衡方程及应用31空间汇交力系的平衡方程为：因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故各力矩方程都成为了恒等式。000ZYX空间平行力系的平衡方程，设各力线都//z轴。因为均成为了恒等式。0)(0)(0FmFmZyx000)(YXFmz321、球形铰链二、空间约束观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。[例]33球形铰链342、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承353、滑动轴承364、止推轴承375、带有销子的夹板386、空间固定端39空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。§4-7平行力系的中心物体的重心一、空间平行力系的中心、物体的重心1、平行力系的中心由合力矩定理：)()(iOOFmRmnnCFrFrFrRr2211400110,PFFPRR令nnCrFrFrFrR2211iiinnCFrFRrFrFrFr2211RzFzRyFyRxFxiiCiiCiiC,,:投影式41如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：iiCxPxPPPzzPPyyPPxxiCiCiC,,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n)，常用积分法求物体的重心位置。二、重心坐标公式：42设gi表示第i个小部分每单位体积的重量，⊿Vi第i个小体积，则代入上式并取极限，可得：式中，上式为重心C坐标的精确公式。PdVzzPdVyyPdVxxVCVCVCggg,,iiiVPgVdVPg对于均质物体，g=恒量，上式成为：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC,,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。43根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x轴取矩得：PzPzzPPziiCiiC,综合上述得重心坐标公式为：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC,,若以△Pi=△mig,P=Mg代入上式可得质心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC,,44同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,,:立体AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,,:平板lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,,:细杆45解：由于对称关系，该圆弧重