理论力学011.

第一章质点力学第一节运动的描述一、参照系与坐标系在研究宏观物体机械运动时，选作参考的物体叫做参照系或参考系。参照系确定以后，为研究问题方便可在上面适当地选取坐标系。质点：抽象化模型，只考虑质量，不考虑形状与大小。把一个物体看作质点时，其形状和大小须对问题没有影响，或影响可忽略。例如：……一切物体都可看作质点的集合，本章主要研究质点力学问题。自由质点空间位置的确定要三个独立变量（位置坐标）。一般为时间的函数，在直角坐标系中可写成函数形式：)1.1.1()()()(321tfztfytfx很明显，质点坐标为常数表明该质点静止。质点位置也可用由原点指向质点P的矢量r来表示，r叫做质点的位矢。在直角坐标中可表示为：)2.1.1(kjirzyx思考：在一平面上运动的质点如何描述，如xy平面。在一平面上运动的质点只用两个坐标就可描述，如在xy平面上运动可表示为：)3.1.1()()(21tfytfx)4.1.1(jiryx为研究问题方便，常用的坐标系除了直角坐标系外，还有柱面坐标系、球面坐标系、自然坐标系，平面问题中有平面极坐标系和自然坐标系。如平面极坐标系中质点位置表示为：)5.1.1()()(ttrr矢径极角二、运动学方程与轨道1、运动学方程：给出质点在空间或平面上任一时刻所占据位置的表达式（方程）叫做质点的运动学方程，运动学方程能够表出质点的运动规律。2、宏观物体或质点在机械运动中表现出的物质属性：（1）不能有两个或以上的物体同时占据同一空间。（2）不能从空间某一位置突然改变到另一位置（速度有限性）。因此运动学方程是时间的单值、连续函数。也是质点的轨道参变方程，时间为参数。轨道：运动质点在空间一连串所占据的点形成的一条轨迹。概念：直线运动与曲线运动……切线为曲线运动瞬时方向。通过消去参数方程中的时间t可以得到轨道方程。根据轨道方程可确定直线运动与曲线运动，但不是绝对的，还与参照系有关。三、位移、速度和加速度位移：从初始位置指向末位置的矢量。一般位置矢量常用来表示，则位移用表示。rrΔ位移与路程的区别(瞬时)速度：)6.1.1()()(ΔΔlim)(0vvrrrvtttdttdtt速率：……矢量与标量：……匀速直线运动：……(瞬时)加速度：)7.1.1(ΔΔlim0rvvvadtdtt匀加速直线运动：……作业：76页1.1,1.3,1.4,1.5第二节速度、加速度的分量表示一、直角坐标系中位矢、速度、加速度的关系)1.2.1(kjikjirvkjirzyxvvvzyxdtdzyx)2.2.1(222222zyxvvvzyxv)3.2.1(kjikjivazyxaaazyxdtd)4.2.1(222222zyxaaazyxa由上述关系可知位矢、速度、加速度三者知其一可求其他。例1：设椭圆规尺AB的端点A与B沿直线导槽Ox及Oy滑动，而B以匀速度c运动，求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度及加速度。设。,aMAOBAbMB,解：由图知M点的坐标为：cos,sinaybx消去θ得轨道方程12222aybx速度分量为sin,cosaybx由B点坐标cos)(,0bayxBB得B点速度cbayvBBsin)(所以得sin1bac所以得M点的速度分量为baacybabcx,cotcot22babacvMM点的加速度分量为322432221)(csc)(cscxbacbbabcbabcx0y3224221)(xbacbyxaM二、极坐标系中的位移、速度、加速度研究质点做曲线运动或在有心力场中运动时，采用极坐标系可能更方便。在极坐标系中，运动一般分解成径向与横向两个分量，单位矢量也用i和j表示，与直角坐标系不同的是单位矢量随时间变化。极坐标系中，位矢：irr速度：iiirvrrdtrddtd)(据右图：jiidtddddtd)8.2.1(ijjdtddddtd所以得速度：jivrr径向速度：rvr横向速度：rv加速度：)()(jivardtdrdtddtd其中：jiiiirrdtdrdtrdrdtd)(ijjjjjj2)(rrrdtdrdtdrdtdrrdtd所以得加速度：jijia)(1)()2()(222rdtdrrrrrrr径向加速度：2rrar横向加速度：)(122rdtdrrra与速度不同，径向加速度还有与横向有关的，可以理解为向心加速度。同样横向加速度也有与径向变化有关的项。2r三、柱坐标系与球极坐标系平面极坐标只方便于处理平面有心曲线运动，而空间运动则主要用直角坐标、柱坐标、球极坐标来处理。柱坐标：位矢、速度、加速度的表示仅仅在平面极坐标基础上加上z分量。球极坐标系如右图所示，具体应用将在第五章中学习，例2、某点运动方程为，式中b和c都是常数，试求其速度与加速度。bterct,求解过程由同学利用公式自己求解，值得注意的是，本题的结果显示速度、加速度都与位矢r成正比。三、切向加速度与法向加速度在曲线运动中，速度v沿轨道切线方向。平面曲线运动中，加速度a可分解成切向和法向两个分量。在自然坐标系中我们设切线单位矢量为i，法向为j，切向与x轴夹角为θ，则它们之间的关系为：ijjidddd,速度为s为路程（曲线弧长）iivdtdsv极限情况下rdds所以22222)(dtdsdsddddtsddtddtdsdtsddtdiiiiva由于为曲率半径，所以ddsjia2vdtdv因此加速度可分解成切向加速度与法向加速度两个分量。切向加速度dtdva法向加速度2van即向心加速度，是曲线运动的标志。四、空间曲线运动的密切平面密切平面：曲线上某点的切线和曲线上无限接近切点的一点所确定的极限平面，即无限接近的两点切线所确定的极限平面。密切平面内曲线的法线为主法线(n)，垂直于密切平面的法线为副法线(b)。加速度沿副法线方向的分量恒为零。例3：一质点沿圆滚线的弧线运动，如为一常数，则其加速度亦为一常数，试证明之。sin4as式中为圆滚线某点P上的切线与水平线(x轴)所成的角度，s为P点与曲线最低点之间的曲线弧长。0OOrxyr2解：因sin4as故cos4cos4aadtdsv式中)(题设常数又sin4222adtsddtdva2van但cos4adds所以cos4cos4cos162222aaaan而常数2222224cossin4aaaaan例4：设质点P沿螺旋线运动，试求速度、加速度及轨道的曲率半径。tztytx4,4cos2,4sin2解：因tztytx4,4cos2,4sin2故444sin844cos8zxtyytx所以541422222yxzyxv又0164164zyxyxyx所以321622222yxzyxa又014441222142222yxxyxyyxyyxxdtdva321622yxaan而5.2122222yxyxavn注意：曲率半径的两种求解方法。作业：77页1.6,1.7,1.8,1.10第三节平动参照系一、绝对速度、相对速度与牵连速度在不同坐标系或参照系下测量物体运动，可能得到不同的结果，但非相对论下测量的空间间隔和时间间隔是一样的。设S坐标系相对静止，是S´系原点O´在S系中的瞬时位置。则),,(000zyx000000,,wdtdzvdtdyudtdx是S´系相对于S系的分速度，设均为定值。则质点在两坐标系中运动的位置关系为：zzzyyyxxx000,,上式对时间微商得速度关系为：zwzzzyvyyyxuxxx000000,,写成矢量形式为：vvv0“绝对”运动与“绝对”速度：相对于“静止”参照系的运动和速度。相对运动与相对速度：相对于运动参照系的运动和速度。牵连运动与牵连速度：随运动参照系的运动和速度。例1：某人以每小时4千米的速率向东方前进时，感觉风从正北吹来；如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来，试求风速及风向。设“静止”坐标系S固定在地面上，风相对于地面速度为v，运动坐标系S´固定在人身上。x轴指向东方，y轴指向北方。则人以4km/h的速度向东走时有：vivvv401即：)(0sin44cos如图所示vvvvvvvyyxx人以8km/h的速度向东走时有：vivvv802即：45sin0sin45cos8cosvvvvvvvyyx联立以上方程组可解得：45km/h24v即风以从西北吹来。km/h24例1：小船M被水流冲走后，用一绳将它拉回岸边A点，假定水流速度v1沿河不变，而拉绳子的速度则为v2，如小船可以看成一个质点，求小船的轨迹。设：A为原点，水流沿x轴正方向，在极坐标系中求解，M点坐标为。),(00r则：sin)()(12vdtdrvdtdr横向绝对速度径向绝对速度两式相除，得：dvvrdrcsc12积分得：Cvvr2tanlnln12根据初始条件可得：2tanlnln0120vvrC所以得小船的轨迹方程为：2tanlnln2tanlnln012012vvrvvr即：12/00)2tan2(cotvvrr二、绝对加速度、相对加速度与牵连加速度相对作匀速直线运动的两参照系中物体运动的加速度相等。即：aavv或若S´系相对于S系作匀加速直线运动，则有aaavvv00或牵连加速度相对加速度作业：78页1.16第四节质点运动定律前面所讲为运动学，下面将研究质点动力学。一、牛顿运动定律牛顿运动定律是经典动力学的基础，是实验总结所得，适用于宏观低速物体机械运动。牛顿第一定律：任何物体（质点）如果没有受到其他物体的作用，都将保持静止或匀速直线运动状态。物体不受外力保持运动状态性质叫做惯性，是物质的固有属性，因此牛顿第一定律又叫惯性定律。牛顿第二定律：当一物体（质点）受到外力作用时，该物体所获得的加速度和外力成正比，和物体本身的质量成反比，加速度方向和外力的方向一致。公式：aFm一般计算中采用国际单位制(SI)。牛顿第三定律：当一物体A对另一物体B有一作用力F1的同时，另一个物体B同时对该物体A有一个反作用力F2，作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一直线上，即：12FF作用力与反作用力作用在不同物体，两者的施力物体与受力物体正好相反，但两者同时产生、同时存在、同时消失、相互依存。二、相对性原理牛顿运动定律不是对任意参照系都成立的，牛顿运动定律能成立的参照系叫做惯性参照系。惯性参照系只能依靠实验观测确定，以远离星系中心的恒星间的连线为坐标轴建立起的坐标系是近似程度很高的惯性参照系。地球表面不是惯性参照系，但一般研究可作为近似惯性参照系。牛顿运动定律不能成立的参照系都是非惯性参照系。相对惯性参照系作匀速直线运动的参照系仍是惯性参照系。在惯性参照系里，一切力学过程都不受参照系本身的匀速直线运动影响，因此不能借助任何力学实验判断该参照