理论力学10弯曲的应力分析和强度计算.

第十章弯曲的应力分析和强度计算弯曲的应力分析和强度计算§10-1弯曲内力—剪力和弯矩一、概述2弯曲的应力分析和强度计算车削工件3弯曲的应力分析和强度计算火车轮轴4弯曲的应力分析和强度计算吊车梁直杆在与其轴线垂直的外力作用下，轴线成曲线形状的变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。5弯曲的应力分析和强度计算平面弯曲MZ截面特征：杆具有纵向对称面，横截面有对称轴（y轴）受力特点：外力都作用在对称面内，力垂直于杆轴线变形特点：弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线6弯曲的应力分析和强度计算梁的基本形式Fq(x)Mx简支梁Fq(x)Mx外伸梁Fq(x)Mx悬臂梁7弯曲的应力分析和强度计算火车轮轴简化为外伸梁8弯曲的应力分析和强度计算二、剪力与弯矩截面法求内力∑Fy=0cRA−P−Q=01∑M=0M+P(x−a)−RAx=01Q=RA−P1剪力M=RAx−P(x−a)弯矩19弯曲的应力分析和强度计算剪力符号规定：当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针转动时为正，反之为负。弯矩符号规定：弯矩使微段梁凹向上为正，反之为负。10弯曲的应力分析和强度计算思考：梁的内力符号是否和坐标系有关？答：无关。如图所示连续梁，ＡＢ和ＢＣ部分的内力情况如何？A00EBCFPDαXC=Pcosα答：轴力不为零，剪力和弯矩为零。11例1如图所示为受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ截面上的剪力和弯矩。解1、支座约束力∑M∑MB=0+RA×4−P×2−q×2×1=0A=0P×2−RB×4+q×2×5=0RA=1.5kN,RB=7.5kN12例12、计算内力∑F=0∑MC=0y1RA−Q1=0RA×1−M1=0M1=1.5kN⋅mQ1=1.5kN∑Fx=0C2Q2−q×1=0∑M=0M2+q×1×0.5=0Q2=2kNM2=−1kN⋅m13弯曲的应力分析和强度计算三、剪力与弯矩方程剪力图和弯矩图设x表示横截面的位置，则梁各截面上的剪力和弯矩可以表示为坐标x的函数Q=Q(x)--剪力方程M=M(x)--弯矩方程梁的剪力和弯矩随截面位置的变化关系，常用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。14例2如图所示为一受集中力作用的简支梁。设P、l及a均为已知，试列出剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解1、求支座约束力l−aRA=PlaRB=Pl2、列剪力方程和弯矩方程AC段l−aQ(x1)=RA=Pl(0x1a)M(x1)l−aM(x1)=RAx1=Px1(0≤x1≤a)lQ(x1)15例BC段2aQ(x2)=−RB=−Pl(ax2l)Q(x2)RBaM(x2)=RB(l−x2)=P(l−x2)l(a≤x2≤l)3、画剪力图和弯矩图l−aPlM(x2)a(l−a)PlaPl16例3m悬臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l，=3Pl2试绘剪力图和弯矩图。解1、求支座约束力∑Fy=0RA−P=03Pl−Pl−mA=0MA=0∑2PlRA=PmA=22、确定剪力、弯矩方程AC段l(0x1≤)Q(x1)=RA=P2lPl(0x1)M(x1)=RAx1+mA=Px1+2217例CB段3Q(x2)=Pl(≤x2l)2M(x2)=−P(l−x2)l(x2≤l)23、画剪力图和弯矩图18例4如图所示简支梁，已知q，l。试画出剪力图和弯矩图。解1、求支座约束力qlRA=RB=22、确定剪力方程和弯矩方程qlQ(x)=−qx2(0x1)l2qlqxM(x)=x−22(0≤x≤l)⊕193、画剪力图和弯矩图弯曲的应力分析和强度计算四、外力与剪力及弯矩间的关系1、载荷集度、剪力及弯矩间的微分关系设载荷集度是x的连续函数q=q(x)规定：向上为正∑Fy=0Q(x)−[Q(x)+dQ(x)]+q(x)dx=0dQ(x)=q(x)dx20弯曲的应力分析和强度计算dxMc=0M(x)+dM(x)−M(x)−Q(x)dx−q(x)dx=0∑2dM(x)=Q(x)dx2dM(x)=q(x)2dx2、集中力、集中力偶作用处的剪力及弯矩∑Fy=0ΔQ=P集中力（包括支座约束力）作用处的两侧截面上的剪力数值发生突变，且突变值等于集中力的值21弯曲的应力分析和强度计算工程实际中，所谓的集中力不可能集中于一点，而是分布在很小的范围内∑MC=0ΔM=MM在集中力偶作用的两个侧面上，弯矩数值发生突变，且突变值的大小等于集中力偶的值。22弯曲的应力分析和强度计算3、载荷集度、剪力图及弯矩图图形上的关系q，Q，M图的线型依次递高一次，若q为水平线，则Q图将为斜线，而M图则为二次曲线；若q等于零，则Q图将为水平线，而M图则为斜线。M图的凹向同q指向，当q指向上方时，q值为正，M对x的二阶导数大于零，弯矩图将凹向上，反之M图将向下凹曲。当Q等于零时，M取极值。集中力作用的截面，Q图有突变，突变值等于集中力的值。M图上有折点；集中力偶作用的截面，M图有突变，突变值等于集中力偶的值。23例52m如图所示外伸梁，已知：q，l，P=ql3，=ql试画出剪力图和弯矩图。6。解1、求支座约束力∑Mc=02l3lqlqllRAl−q−+=0246322llqlql3l−−RCl+=0qMA=0∑246323RA=ql811RC=ql242、分段分为AB，BC，CD三段24例53RA=ql811RC=ql243、求端值利用直接法计算各段左、右两端截面上的剪力和弯矩25例54、画剪力图和弯矩图26弯曲的应力分析和强度计算五、用叠加法作剪力图和弯矩图P=ql当梁上有多个外力作用时各外力引起的内力互不相关，因此可以分别计算各外力所引起的内力，然后进行叠加----叠加法27弯曲的应力分析和强度计算§10-2纯弯曲梁横截面上的正应力分析梁弯曲时，横截面上一般有两种内力---剪力和弯矩，这种弯曲称为横力弯曲。梁弯曲时，横截面上只有弯矩，而没有剪力，这种弯曲称为纯弯曲。28弯曲的应力分析和强度计算一、纯弯曲梁的正应力1、变形方面实验观察：纵向线在梁变形后变成弧线，靠顶面的线缩短，靠底面的线伸长。横向线在梁变形后仍为直线，但相对转过了一个角度，且仍然与弯曲的纵向线保持正交。平面假设：纯弯曲梁是由无数条纵向线所组成，变形前处于同一平面的各纵向线上的点，弯曲变形后仍处于同一平面内，且纵向线与横截面在变形中保持正交。29弯曲的应力分析和强度计算根据平面假设，由实验观察到的表面现象已推广到梁的内部，即梁在纯弯曲变形时，横截面保持平面作刚性转动，靠底部的纵向纤维伸长了，靠顶部的纵向纤维缩短了，由于变形的连续性，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这层纤维称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。30弯曲的应力分析和强度计算aadxdx线应变随y按线性规律变化Δl31弯曲的应力分析和强度计算2、物理方程假设纵向纤维在弯曲变形中相互不挤压，且材料在拉伸及压缩时的弹性模量相等。MZε=yρ胡克定律σ=Eεσ=EyCσminzρyσxσmax纯弯曲时的正应力按线性规律变化，横截面中性轴的正应力为零，在中性轴两侧，一侧受拉应力，一侧受压应力，与中性轴距离相等各点的正应力数值相等。32弯曲的应力分析和强度计算3、静力学条件σ=Ey∑FAx=0ρσdA=FN=0∫∫AσdA=∫AEyρ∫AydA=0dA=Eρ∫AydA=0截面对中性轴的静矩，静矩为零的轴是形心轴。中性轴通过截面的形心。33弯曲的应力分析和强度计算∑Mz=0yM=∫σydAAσ=EyM=∫AyEρ1dA=Eρ∫AydA2ρM=ρEIxz∑My=0∫AzσdA=E∫AzσdA=0ρ∫AzydA=0横截面对y，z的惯性积，由于y轴为对称轴，故惯性积为零。34弯曲的应力分析和强度计算M=ρEIxz1σ=Ey}M=ymaxIZMσ=yIZ--纯弯曲梁横截面正应力计算公式ρ横截面上的最大正应力发生在离中性轴最远点。σmaxσmaxM=WZIZWZ=ymax弯曲截面系数35弯曲的应力分析和强度计算二、惯性矩常见截面的IZ和WZ643πdWZ=32圆截面bhIZ=123IZ=πd4IZ=πD464(1−α)4WZ=空心圆截面πD332(1−α)433bhWZ=6矩形截面2b0h0bhIZ=−121233b0h0bhWZ=(−)/(h0/2)121236空心矩形截面弯曲的应力分析和强度计算思考：梁的截面形状如图所示，在ｘＯｚ平面内作用有正弯矩，绝对值最大的正应力位置为哪一点？zabyc37弯曲的应力分析和强度计算有一直径为ｄ的钢丝，绕在直径为Ｄ的圆筒上，钢丝仍处于弹性阶段。此时钢丝的弯曲最大正应力为多少？为了减少弯曲应力，应增大还是减小钢丝的直径？M=ρEIxz1D+dρ=22EIzM=D+dσmaxdM2=IzσmaxEd=D+d38例6受纯弯曲的空心圆截面梁如图所示。已知：弯矩M=1kN⋅m，外径D=50mm，内径d=25mm。试求截面上a，b，c和d点的应力，并画出过a，b两点直径线和过c，d两点弦线上各点的应力分布情况。39例解6M=1kN⋅mMσ=yIZDya==25mm2dyb==12.5mm2221221Dd250252)=21.7mmyc=(−)=(−4444yd=0IZ=π64(D−d)=44π64(50−25)×(10)=2.88×10m44−34−7440例63M1×10−3ya=×25×10=86.8MPaσa=−7IZ2.88×10M1×10−3σb=yb=×12.5×10=43.4MPa−7IZ2.88×103M1×10−3yc=×21.7×10=75.3MPaσc=−7IZ2.88×103Myd=0σd=IZσa−σc−σd=0⊕σb⊕41弯曲的应力分析和强度计算§10-3纯弯曲应力公式的应用横力弯曲时，由于剪力的影响，弯曲变形后，横截面发生翘曲，不再保持平面，但当剪力为常量时，各截面的翘曲程度完全相同，因而纵向纤维的伸长和缩短与纯弯曲时没有差距。对于剪力为常量的横力弯曲，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。对于剪力不为常量的横力弯曲，当梁的跨度与横截面高度的比值较大时，纯弯曲的正应力计算公式仍然适用。曲率公式也可推广用于横力弯曲梁中性层曲率计算。42弯曲的应力分析和强度计算弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力分布Myσ=IZ•纯弯曲或细长梁的横力弯曲•横截面惯性积Iyz=0•弹性变形阶段43例7T字型截面梁如图所示，试求梁横截面上最大正应力。解绘制弯矩图，得MB=10kN⋅mMC=7.5kN⋅m确定截面的形心120×10×(−125)+120×10×(−60)y==−92.5mm120×10+120×1044例733120×1010×1202+120×10×32.5+Iz=1212264+120×10×32.5=3.99×10mmB截面的最大拉应力σBt=MBIzymax10×10−3=×37.5×10=93.9MPa6−343.99×10×(10)3C截面的最大拉应力7.5×10−3σCt=×92.5×10=173.9MPaymax=6−343.99×10×(10)Iz45梁的最大拉应力发生在C截面的下部边缘MC3弯曲的应力分析和强度计算§10-4矩形截面梁弯曲切应力简介一、矩形截面梁的弯曲切应力关于横截面切应力分布规律的假设：侧边上的切应力与侧边相切切应力沿z的方向均匀分布QMM+dMdxQ+dQQτyyz46弯曲的应力分析和强度计算MM+dMxyzyQdxQ+dQdx∑Fx=0FN1−FSτ−FN2=0M+dM∗M+dM∗FN1=∫σ1dA=∫ydA=SzIzIz∗∗AAFN2M*=SzIzFN2FSτFsτ=τ'bdx*z*zyQSτ=Izb*zFN1dMSQSτ'==dxIzbIzb--矩形截面梁横截面切应力计算公式47弯曲的应力分析和强度计算bhIZ=1222bh2∗∗∗∗∗hSz=∫A∗ydA=∫yybdy=(−y)242QhQh2τ=(−y)τmax=2Iz48Iz3Qτmax==1.5τ平均2bh2QSτ=Izb*z3bhyy*ayQza1A*沿高度方向抛物分布y=0时，切应力值最大梁上下表面处切应力为零A48弯曲的应力分析和强度计算