第5讲 椭 圆

1第5讲椭圆【2013年高考会这样考】1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题．2．考查椭圆的方程及其几何性质．3．考查直线与椭圆的位置关系．【复习指导】1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．基础梳理1．椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(ab0)y2a2＋x2b2＝1(ab0)图形续表范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点2性质顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系：给出椭圆方程x2m＋y2n＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴上⇔0＜m＜n.两种方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．三种技巧(1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．双基自测1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为()．3A.x29＋y216＝1B.x225＋y216＝1C.x225＋y216＝1或x216＋y225＝1D．以上都不对解析∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故a－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为x225＋y216＝1或x216＋y225＝1.答案C2．(2012·合肥月考)设P是椭圆x225＋y216＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()．A．4B．5C．8D．10解析依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.答案D3．(2012·兰州调研)“－3＜m＜5”是“方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析要使方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，应满足5－m＞0，m＋3＞0，5－m≠m＋3，解得－3＜m＜5且m≠1，因此“－3＜m＜5”是“方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆”的必要不充分条件．答案B4．(2012·淮南五校联考)椭圆x29＋y24＋k＝1的离心率为45，则k的值为()．A．－21B．21C．－1925或21D.1925或21解析若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝5－k，4由ca＝45即5－k3＝45，得k＝－1925；若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝k－5，由ca＝45，即k－54＋k＝45，解得k＝21.答案C5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为22.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．解析根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵e＝22，∴ca＝22，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆方程为x216＋y28＝1.答案x216＋y28＝1考向一椭圆定义的应用【例1】►(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且PF1→⊥PF2→.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.[审题视点]关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1→⊥PF2→，进而得解．解析由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF1→⊥PF2→，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2，∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2.∴|PF1||PF2|＝2b2，5∴S△PF1F2＝12|PF1||PF2|＝12×2b2＝b2＝9.∴b＝3.答案3椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．【训练1】已知△ABC的顶点B，C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()．A．23B．6C．43D．12解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，∴周长为4a＝43(F是椭圆的另外一个焦点)．答案C考向二求椭圆的标准方程【例2】►(1)求与椭圆x24＋y23＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．[审题视点]用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定．解(1)由题意，设所求椭圆的方程为x24＋y23＝t(t＞0)，∵椭圆过点(2，－3)，∴t＝224＋－323＝2，故所求椭圆标准方程为x28＋y26＝1.(2)设所求的椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，6由已知条件得2a＝5＋3，2c2＝52－32，解得a＝4，c＝2，b2＝12.故所求方程为x216＋y212＝1或y216＋x212＝1.运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可．【训练2】(1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程．解(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，a＝3，∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，∴椭圆过点A(3,0)，∴02a2＋9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.(2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝32|MN|＝32×23b＝1.∴b＝3.a2＝b2＋c2＝4.故椭圆方程为x24＋y23＝1.考向三椭圆几何性质的应用【例3】►(2011·北京)已知椭圆G：x24＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l7交椭圆G于A，B两点．(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．[审题视点](1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值．解(1)由已知得，a＝2，b＝1，所以c＝a2－b2＝3.所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e＝ca＝32.(2)由题意知，|m|≥1.当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为1，32，1，－32，此时|AB|＝3.当m＝－1时，同理可得|AB|＝3.当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．由y＝kx－m，x24＋y2＝1.得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝8k2m1＋4k2，x1x2＝4k2m2－41＋4k2.又由l与圆x2＋y2＝1相切，得|km|k2＋1＝1，即m2k2＝k2＋1.所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝1＋k264k4m21＋4k22－44k2m2－41＋4k28＝43|m|m2＋3.由于当m＝±1时，|AB|＝3，所以|AB|＝43|m|m2＋3，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB|＝43|m|m2＋3＝43|m|＋3|m|≤2，且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.(1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2.【训练3】(2012·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为________．解析设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC为直角三角形，∴1＋1＋2＝4a，则a＝2＋24，设|FA|＝x，∴x＋1＝2a，1－x＋2＝2a，∴x＝22，∴1＋222＝4c2，∴c＝64，e＝ca＝6－3.答案6－39考向四椭圆中的定值问题【例4】►(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝22，一条准线的方程为x＝22.(1)求该椭圆的标准方程；(2)设动点P满足：OP→＝OM→＋2ON→，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．[审题视点](1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P点．解(1)由e＝ca＝22，a2c＝22，解得a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝2，故椭圆的标准方程为x24＋y22＝1.(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由OP→＝OM→＋2ON→得(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)，即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，所以x21＋2y21＝4，x22＋2y22＝4，故x2＋2y2＝(x21＋4x22＋4x1x2)＋2(y21＋4y22＋4y1y2)＝(x21＋2y21)＋4(x22＋2y22)＋4(x1x2＋2y1y2)10＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知kOM·kON＝y1y2x1x2＝－12，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝20.所以P点是椭圆x2252＋y210