第5讲(教师)因式分解

成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________1第5讲因式分解总结【基础知识概述】因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。1.因式分解的对象是多项式；2.因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3.分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4.公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5.结果如有相同因式，应写成幂的形式；6.题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；7.因式分解的一般步骤是：（1）通常采用一“提”、二“套”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；二因式分解的方法因式分解的方法颇多，且很有技巧，除提公因式、公式法之外，还有很多特殊的技巧和方法，这些方法不仅应用在因式分解里面，也应用在代数变形的诸多方面1公式法运用公式法分解因式就是乘法公式的逆用，不过有时候需要分组才能看出公式结构例1填空1、平方差公式22ab-=2、完全平方公式222aabb++=222aabb-+=3、33ab+=4、33ab-=5、3333abcabc++-=解：a³+b³+c³-3abc=(a³+b³)+(c³-3abc)=(a+b)(a²-ab+b²)+c(c²-3ab)=(a+b)(a²-ab+b²)+c(c²-3ab-a²-b²+a²+b²)成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________2=(a+b)(a²-ab+b²)+c[(c²-a²-2ab-b²)+(a²-ab+b²)]=(a+b)(a²-ab+b²)+c[c²-(a+b)²]+c(a²-ab+b²)=(a+b)(a²-ab+b²)+c(a²-ab+b²)+c[c²-(a+b)²]=(a+b+c)(a²-ab+b²)+c(a+b+c)(c-a-b)=(a+b+c)[(a²-ab+b²)+c(c-a-b)]=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)6、222222abcabbcac++--+7、333()ababab+++=333()ababab---=8、()2xpqxpq+++9、222222abcabbcca+++++=10、222abcabbcca++---=例2分解因式3331xyxy++-拓展练习分解因式（1）66xy-（2）22(31)1nn++-2拆项、添项+分组（公式）例3分解因式3232xx-+拓展练习分解因式（1）32374aa+-（2）44a+（3）4422xyxy++3十字相乘例4分解因式（1）4222010(20101)2010xx---（2）222(75)253xaxaa--+--成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________3拓展练习分解因式（1）2228146xxyyxy-----（2）322(1)2xmxmxm+--+（3）2222222xyyzzxxzyxzyxyz-+-++-4换元法换元法的整体实质是一种整体思想，它有简化代数式结构的作用.例5分解因式（1）4242(4)(3)10xxxx+-+++（2）2(1)(2)(3)(6)xxxxx+++++（3）2(2)(2)(1)xyxyxyxy+-+-+-拓展练习分解因式（1）2222(48)3(48)2xxxxxx++++++（2）2(61)(21)(31)(1)xxxxx----+（3）()()()24cabcab----5待定系数法(因式分解定理)如果关于x的多项式121210()nnnnnnfxaxaxaxaxa----=+++++，满足()0fa=，则多项式()fx中必含有因式成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________4xa-.例6如果328xaxbx+++有两个因式1x-和2x+，求ab+的值.拓展练习分解因式32539xxx++-三因式分解的应用例7(1)已知3331abab++=，求ab+的值.（2）已知abc，222222,,MabbccaNabbcca=++=++判断,MN的大小关系.（3）求证791381279--是45的倍数.（4）求所有的整数n，使245nn++是完全平方数.（5）正整数,ab满足1123ab+=，求,ab的值.成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________5(6)已知实数,xy满足方程224(23)(321)3xxyy++++=，求xy+的值.（7）在ABCD中，,,abc为三边长，且222166100abcabbc--++=，求证2acb+=.练习题1、已知3210xxx+++=，那么2320121xxxx+++++=2、已知2471-可被40至50之间的两个整数整除，这两个整数分别是3、已知2222111148()3444541004P=?++++----,则P的整数部分是4、若432237xxaxxb-+++能被22xx+-整除，则ab=5、长方体的长宽高分别为,,abc，,,abc为正整数，且abc若2006abcabbccaabc++++++=，则该长方体的体积是6、分解因式(1)22224xxyyxy--+-（2）42424(41)(31)10xxxxx-++++成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________6（3）()()()24422xyxyxy++-+-【思路解析】1.通过基本思路达到分解多项式的目的例1.分解因式xxxxx54321分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把xxxxx54321和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把xx54，xx32，x1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式()()xxxxx54321xxxxxxxxxxxxx32232221111111()()()()()()()解二：原式=()()()xxxxx54321xxxxxxxxxxxxxxxxx4244222211111121111()()()()()()[()]()()()2.通过变形达到分解的目的例1.分解因式xx3234解一：将32x拆成222xx，则有原式xxxxxxxxxxxx322222242222212()()()()()()()()解二：将常数4拆成13，则有成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________7原式xxxxxxxxxxxx322221331113314412()()()()()()()()()3.在证明题中的应用例：求证：多项式()()xxx2241021100的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：()()xxx2241021100()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxx223710027231005145610022设yxx25，则原式无论取何值都有的值一定是非负数()()()()()()yyyyyyyxxx14610081644041021100222224.因式分解中的转化思想例：分解因式：()()()abcabbc2333分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B原式()()()()()ABABAABABBABABABABABabbcabc333322333223333332说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨：成绩在细节与规范中生成，目标在奋斗与拼搏中实现！八年级姚老师15228873008______________________________________________________________________________________________________8例1.在ABC中，三边a,b,c满足abcabbc222166100求证：acb2证明：abcabbc222166100aabbcbcbabcbabcabcabcabcabcabcacb2222226910250350820880202即，即于是有即()()()()说明：此题是代数、几何的综合题，难度不大，学生应掌握这类题不能丢分。例2.已知：xxxx12133，则__________解：xxxxxx3321111()()()[()]xxxx11212122说明：利用xxxx222112()等式化繁为易。题型展示：1.若x为任意整数，求证：()()()7342xxx的值不大于100。解：100)4)(3)(7(2xxx()()()()()()[()()]()()()()xxxxxxxxxxxxxxxxx723210051456100585165407341002222222说明：代数证明问题在初二是较为困难的问题。一个多项式的值不大于100，即要求它们的差小于零，把它们的差用因式分解等方法恒等变形成完全平方是一种常用的方法。2.将aaaa222222216742()()分解因式，并