第5讲正方形

第5讲正方形知识要点：1．有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.正方形是各边都相等的矩形，正方形是各角都相等的菱形，正方形既是菱形又是矩形，它具有矩形和菱形的一切性质.2．矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们的概念交错，关系复杂，性质有许多相似之处.所以在学习中要注重概念的理解，着眼于概念间的区别与联系.3．连正方形的对角线，能得到特殊三角形、全等三角形，由于正方形常常与直角三角形联系在一起，所以在解有关正方形问题时要用到直角三角形性质.典型例题：例1如图，若将正方形分成k个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k的值为（）A．6B．8C．10D．12答案：B分析：要求k的值，需列出k的方程，因k个矩形组成正方形，则可由正方形的面积及边长列方程组.解：设矩形的长、宽分别为x,y.则,)2(222xkxyyxx解得：k=8.例2证明：两个边长不等的正方形一定可以拼成一个大正方形.证明：如图，四边形ABCD、BEFG是边长分别为a、b（ab）的正方形.在AB上取AP=b，沿DP、PF剪开，把DCQDAP移到处，再把QGFPEF移到处，则拼成了正方形DPFQ.证明如下：由于DAP≌PEFbaDQDPDCQ又则.,22≌22,baFQPFQGF则.因此DPFQQDFQPFDP,是菱形..,.90,,90,22BEFGABCDSSbaDPFQPDCCDQPDQPDCADPCDQADP且面积正方形是所以所以又…DABFEGQCPabb例3如图，正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：BAFDAE21分析：作.2121BAF，BAF则的角平分线要证结论成立，需证ADEDAF需证,2≌ABG，而E是CD中点，故需证G为BC的中点.证明：作FHAFH，H，DCG，BCBAF21则的延长线于交于的角平分线交设正方形的边长为4a，则.522aDFADAFH，GCH，BABaCHaFH2.4,5又ABG≌DEGBCGHCG，B，D又AD=AB，ADE≌ABG，BAFDAE212例4如图，正方形ABCD中，E、F是AB、BC边上两点，且EF=AE+FC，G，EFDG于求证：DG=DA分析：利用旋转的思想构造AE+FC的线段是解本例的关键，证明：延长BC至H点，使CH=AE，连结DE、DF、DH，由DAERt≌,,DHDEDCHRt得进而推证DEF≌DGERtDFHRt,≌.DCH例5如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点,满足EF=BE+DF.AE、AF分别与对角线BD交于M、N.(1)求证:45EAF(2)求证:222DNBMMN证明：（1）将ADHABE旋转至处，易得C、D、H三点共线.ABCDFMNEDABCEFDABCEFHG21GFEDCBAHGFEDCBAABCDFMNE易证得AEF≌AFH（SSS）从而HAF，EAF易证4590EAF，FAHEAF（2）作AQ=AM，连结NQ、DQ易证QAN≌MAN（SAS）、ABM≌ADQ，从而QN=MN，BM=DQ222222,90DNBMMN，DNDQ，QNQDNRtQDN中在例6如图，,90MON点A、D在OM上，点A、D在OM上，点B、C在ON上，且AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、AC、DC、BD的中点.求证：四边形EFGH是正方形例6分析：题设中中点较多，由中位线定理容易证出EFGH的四条边相等，要证邻边互相垂直，可利用平行及已知直角来证.证明：BCDHG是，的中位线∴BC，HG21GH//BC，同理BC，EF21∴HG=EF.同理AD，FGEH21GF//OD.∴四边形EFGH是平行四边形.BC，HG21AD，GF21ADBC，∴HG=GF.BC，HG//∴CDOFGCDCO，DGH同理，∴，CDODCOFGCDGH90∴90HGF∴四边形EFGH是正方形.例7如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，CFHBFG与都是锐角，已知EG=3，FH=4，四边形EFGH的面积为5，求正方形ABCD的面积.ABCDFMNENMHEFGCBOADFEGHDCBA解：过E、F、G、H分别作对边的垂线，则四边形PQRT为矩形，设正方形的边长为a，,,cQRbPQ由勾股定理得,4,32222acab∴RGHDGHQFGCFGPEFBEFTEHAEHSSSSSSSS,,,则,2EFGHPQRTABCDSSS∴,1043,52222222aaabca即5442a.例8如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.求证：AE⊥EG.分析：由于CG是角平分线，CA是∠BCD的平分线，于是我们可以断定∠ACG=90°，因而只要证明∠AEG=∠ACG即可，从图中可以看出，只要证明∠1=∠G就可以得到所求证的结论.证明：连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM.∵四边形ABCD是正方形∴AC平分∠BCD∴∠ECM=135°又∵CG平分∠DCF，∴∠GCF=45°∴∠ECG=135°，∴∠ECG=∠ECM.而EC=EC，CG=CM.∴△ECM≌△ECG.∴∠M=∠G，EM=EG而EA=EG，∴EA=EM，∴∠1=∠M∴∠1=∠G而∠2=∠3∴∠AEG=∠ACG又∵∠ACD=45°，∠DCG=45°∴∠ACG=90°，∴∠AEG=90°，EGFDCBA321EMGFDCBARTQPFEGHDCBA即AE⊥EC.例9如图，正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形PECH的面积恰是矩形AGPE面积的2倍.试确定HAF的大小并证明你的结论.分析：因为与正方形有关的角有454590HAF，、故猜想,要证这一结论,可将ADH旋转至ABM的位置,则90HAM,若能证MAFHAF,则结论成立.证明：连结FH，延长CB到M，使BM=DH，连结AM.则ADH≌ABM，∴AM=AH.设,,,,yEDxAEbBCaAG则)2(2(1)byaxyxba由（1）得222222ybybxaxa，把（2）代入，得222242yaxbxaxa.则,,)(22222FHybxaybxa∴FM=FH.又MAFAFAF,≌HAF，∴,MAFHAF又,90DAHBAFHAFMAFHAF∴.45HAF例10如图，正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC），连结AE，取线段AE的中点M.求证：FMMDFMMD,证明：过E作EH//AD，交DM的延长线于点N，交DC的延长线于H，连结FN、DF.PHGFEDCBAABCDEFGM易证AMD≌)(ASAEMN从而得DM=NM，AD=EN，再证CDF≌)(SASENF从而DF=FN，21可得90DFN，从而可得DFN为等腰直角三角形，故DNFMDMDNFM,21课后训练：1．P是线段AB上的一点，AB=1，以AP和BP为边分别作两个正方形，当这个正方形面积的差的绝对值为21时，AP的长是（）（A）4341或（B）3231或（C）5451或（D）7572或1．解：A2．如图，“L形”纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF，若阴影部分面积是纸片面积的一半，试求EF的长.1．解：过E作EN//KA交AR于N，过F作MAQFM于，易知四边形PQMF、ENRS均为矩形.由于CEF的面积为3，于是11ESPF，SSNRSEPQMF从而又67ES）（PFCFEC，由6321CF，CECFEC故2426222FCECCFCE所以，.6222CFCEEF3．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿着DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG的度数是____________.3．解：：提示.75：.302121DGFDG，ABDF则4．正方形ABCD中，E是AD的中点，BD与CE相交于F，求证：BEAFAEFABDCFEKGEDCBAF4．证明：易证得△ABE≌△DCE，△ADF≌△CDF，从而DAFABE又.,90,90BEAFAEBEAFAEBABE即5．如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，Q，BCPQ于点R，BEPR于点PQ+PR的值为（）A．22B．21C．23D．325．解：A.提示：过E作BC边上的高EF，运用等腰三角形中PR+PQ=EF.6．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在AD上，点E在AB的延长线上，CEFRt的面积为200，则BE的值是（）A．15B．12C．11D．106．解：B提示：△DFC≌△BEC，CF=CE，△CEF为等腰直角三角形.7．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E、F分别在BC、CD上，且,15,30DAFBAE求△AEF的面积.7．解：延长CB至G，使BG=DF，连结AG，则△ABG≌△ADF，AG=AF，,45,15FAEGAEDAFBAG△GEA≌△FAE，EF=EG，.60AEGAEF在.13303，CEBAE，，ABABERt中在.30，EFC，EFCRt中2EF（13）.ABCDPQREABCDPQREFABCDEFABCDEFABCDEFG故.3321ABEGSSAEGAEF8．如图，在正方形ABCD内任取一点E，连结AE、BE，在△ABE外分别以AE、BE为边作正方形AEMN和正方形EBFG，连结NC、AF.求证：NC=AF.8．分析：连结DN，要证NC=AF，考虑证△CDN≌△ABF.证明：连结ND、CF.,31,903221又BF，BEBC，BA∴BAE≌,BFC∴CF=AE.同理BAE≌DAN，∴DN=BE，.1ADN∴DN=BF，,3ADN∴BA，DCFBANDC又,∴CDN≌ABF，∴CN=AF.9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交于M、N，若,50EAF则.____________CNFCME9．解：100提示：.2180360,2180360两式相加ANBCNFAMNCME10．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于O，MN//AB，且分别与AO、BO相交于M、N，试探讨BM与CN间的关系？并证明.10．解：.,CNBMCNBM证明：易证ABM≌CBN，则BM=CN，,90NCBMCNNMC故,90BMNMCNNMC即.BMCNABFGDCNMEABFGDCNMENMFEDCBAANOMDCB