第6章作业题解

一、第六章习题详解6.1证明（6.2.1）和(6.2.2)式.证明：(1)niiniiniinbXanbaXnYnY111)(1)(11bXabXnanii1)1((2)niiniiYbXabaXnYYnS12122)]()[(1)(112212212)(1)]([1XniiniiSaXXnaXXan6.2设nXXX,,,21是抽自均值为、方差为2的总体的样本,X与2S分别为该样本均值。证明与2(),()/EXVarXn.证：()EX1212111[()]()()nnEXXXEXXXnnnn()VarX22121222111[()]()()nnVarXXXEXXXnnnnn6.3设nXXX,,,21是抽自均值为、方差为2的总体的样本,2211()1niiSXXn,证明:(1)2S)(11212XnXnnii(2)2()ES2证：(1)niiiniiXXXXnXXnS122122)2(11)(11]2)([112112XnXXXnniinii])(2)([11212XnXnXXnnii)(11212XnXnnii(2))(11)(2122XnXEnSEnii)]()([11212XnEXEnnii]})()([])()([{11212XEXVarnEXXVarnniii)}()({1122122nnnni)]()([112222nnn222)(11nn6.4在例6.2.3中,设每箱装n瓶洗净剂.若想要n瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超过0.3毫升的概率近似为95%,请问n至少应该等于多少？解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|nnnXPXP依题意有，95.01)3.0(2n，即)96.1(975.0)3.0(n于是96.13.0n，解之得7.42n所以n应至少等于43.6.5假设某种类型的电阻器的阻值服从均值200欧姆,标准差10欧姆的分布,在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.(1)求这25个电阻平均阻值落在199到202欧姆之间的概率;(2)求这25个电阻总阻值不超过5100欧姆的概率.解：由抽样分布定理，知nX/近似服从标准正态分布N(0,1)，因此(1))25/10200199()25/10200202()202199(XP)5.0(1)1()5.0()1(5328.06915.018413.0(2))204()255100()5100(XPXPXnP9772.0)2()25/10200204(6.6假设某种设备每天停机时间服从均值4小时、标准差0.8小时的分布.(1)求一个月(30天)中,每天平均停机时间在1到5小时之间的概率;(2)求一个月(30天)中,总的停机时间不超过115小时的概率.解：(1))30/8.041()30/8.045()/1()/5()51(nnXP1)54.20()85.6((2))30115()11530(XPXP1271.08729.01)14.1(1)30/8.0430/115(6.7设~nTt，证明()0,2,3,.ETn证：)(nt分布的概率密度为:tnxnnnxfn,1)2/(]2/)1[()(212，()()ETxfxdx=1122222122[(1)/2][(1)/2]11(1)2(/2)(/2)[(1)/2]101(/2)nnnnxnnxxxdxdnnnnnnnnnxnnnn6.8设总体X~N(150，252),现在从中抽取样本大小为25的样本,{140147.5}PX.解：已知150，25，25n，147.5150140150(140147.5)()()25/2525/25PX)5.0()2()2()5.0(2857.09615.09772.06.9设某大城市市民的年收入服从均值1.5万元、标准差0.5万元的正态分布.现随机调查了100个人,求他们的平均年收入落在下列范围内的概率:(1)大于1.6万元;(2)小于1.3万元;(3)落在区间[1.2，1.6]内.解：设X为人均年收入，则)5.0,5.1(~2NX，则)1005.0,5.1(~2NX，得(1)1.61.5(1.6)1(1.6)1()0.5/100PXPX0228.09772.01)2(1(2)1.31.5(1.3)()(4)1(4)1100.5/100PX(3)1.61.51.21.5(1.21.6)()()0.5/1000.5/100PX9772.0)6()2(6.10假设总体分布为N(12，22),今从中抽取样本125,,,XXX.求(1)样本均值X大于13的概率;(2)样本的最小值小于10的概率;(3)样本的最大值大于15的概率.解：因为)2,12(~2NX，所以22~(12,)5XN，得(1)1312(13)1(13)1()2/5PXPX1314.08686.01)12.1(1(2)设样本的最小值为Y，则),,,(521XXXMinY，于是)10(1)10(YPYP)10()10()10(1521XPXPXP)]21210(1[1)]10(1[15151iiiXP5785.0)8413.0(1)1(1)]1(1[155151ii(3)设样本的最大值为Z，则),,,(521XXXMaxZ，于是)15(1)15(ZPZP)15()15()15(1521XPXPXP)21215(151i2923.0)9332.0(1)5.1(1551i6.11设总体),(~2NX，从中抽取容量样本1216,,,XXX,2S为样本方差.计算222.04SP.解因为),,(~2NX由定理2,得),1(~)1(21222nXXSnnii所以,1)1(22nSnE),1(2)1(22nSnD于是,)(22SE).1/(2)(42nSD当16n时,,15/2)(42SD且2222{/2.04}{15/30.615}PSPS}615.30/15{122SP99.001.01).578.30)15((201.0第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：（1）数理统计的基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我们把从总体中抽取的部分样品nxxx,,,21称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，nxxx,,,21表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，nxxx,,,21表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设nxxx,,,21为总体的一个样本，称（nxxx,,,21）为样本函数，其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数，则称（nxxx,,,21）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值.11niixnx样本方差niixxnS122.)(11样本标准差.)(1112niixxnS样本k阶原点矩nikikkxnM1.,2,1,1样本k阶中心矩nikikkxxnM1.,3,2,)(1)(XE，nXD2)(，22)(SE，221)*(nnSE,其中niiXXnS122)(1*，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布正态分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数).1,0(~/Nnxudeft分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(~/ntnsxtdef其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。分布2设nxxx,,,21为来自正态总体),(2N的一个样本，则样本函数),1(~)1(222nSnwdef其中)1(2n表示自由度为n-1的2分布。F分布设nxxx,,,21为来自正态总体),(21N的一个样本，而nyyy,,,21为来自正态总体),(22N的一个样本，则样本函数),1,1(~//2122222121nnFSSFdef其中,)(11211211niixxnS;)(11212222niiyynS)1,1(21nnF表示第一自由度为11n，第二自由度为12n的F分布。（3）正态总体下分布的性质X与2S独立。