第6章学案30

学案30数列的通项与求和导学目标：1.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．自主梳理1．求数列的通项(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．(3)当已知数列{an}中，满足an＋1an＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用________求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1·a2a1·a3a2·…·anan－1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．2．求数列的前n项的和(1)公式法①等差数列前n项和Sn＝____________＝________________，推导方法：____________；②等比数列前n项和Sn＝，q＝1，＝，q≠1.推导方法：乘公比，错位相减法．③常见数列的前n项和：a．1＋2＋3＋…＋n＝________；b．2＋4＋6＋…＋2n＝________；c．1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝________；d．12＋22＋32＋…＋n2＝________；e．13＋23＋33＋…＋n3＝____________.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．常见的拆项公式有：①1nn＋1＝1n－1n＋1；②12n－12n＋1＝1212n－1－12n＋1；③1n＋n＋1＝n＋1－n.(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(5)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导．自我检测1．(原创题)已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝3n2(n∈N*)，则数列{an}的前n项的和为________．2．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是其前n项和，若{Sn}是等差数列，则q＝________.3．已知等比数列{an}的公比为4，且a1＋a2＝20，故bn＝log2an，则b2＋b4＋b6＋…＋b2n＝________.4．(2010·天津高三十校联考)已知数列{an}的通项公式an＝log2n＋1n＋2(n∈N*)，设{an}的前n项的和为Sn，则使Sn－5成立的自然数n的最小值为________．5．(2010·北京海淀期末练习)设关于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．6．数列1,412，714，1018，…前10项的和为________．探究点一求通项公式例1已知数列{an}满足an＋1＝2n＋1·anan＋2n＋1，a1＝2，求数列{an}的通项公式．变式迁移1设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．探究点二裂项相消法求和例2已知数列{an}，Sn是其前n项和，且an＝7Sn－1＋2(n≥2)，a1＝2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝1log2an·log2an＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tnm20对所有n∈N*都成立的最小正整数m.变式迁移2求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n，…的前n项和．探究点三错位相减法求和例3已知数列{an}是首项、公比都为q(q0且q≠1)的等比数列，bn＝anlog4an(n∈N*)．(1)当q＝5时，求数列{bn}的前n项和Sn；(2)当q＝1415时，若bnbn＋1，求n的最小值．变式迁移3求和Sn＝1a＋2a2＋3a3＋…＋nan.分类讨论思想例(5分)二次函数f(x)＝x2＋x，当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，f(x)的函数值中所有整数值的个数为g(n)，an＝2n3＋3n2gn(n∈N*)，则Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋(－1)n－1an＝______________________.答案(－1)n－1nn＋12解析当x∈[n，n＋1](n∈N*)时，函数f(x)＝x2＋x的值随x的增大而增大，则f(x)的值域为[n2＋n，n2＋3n＋2](n∈N*)，∴g(n)＝2n＋3(n∈N*)，于是an＝2n3＋3n2gn＝n2.当n为偶数时，Sn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－[3＋7＋…＋(2n－1)]＝－3＋2n－12·n2＝－nn＋12；当n为奇数时，Sn＝(a1－a2)＋(a3－a4)＋…＋(an－2－an－1)＋an＝Sn－1＋an＝－nn－12＋n2＝nn＋12，∴Sn＝(－1)n－1nn＋12.【突破思维障碍】在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项；(2)观察法：例如由数列的前几项来求通项；(3)可化归为使用累加法、累积法；(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法；(5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．3．求和时应注意的问题：(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·广东)已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和，若a2·a3＝2a1且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝________.2．有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝7n＋2n＋3，则a5b5＝________.3．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1且an－1－ananan－1＝an－an＋1anan＋1(n≥2)，则此数列的第10项为________．4．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝1nn＋1，则S5＝________.5．(2011·南京模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn1020，那么n的最小值是________．6．(2010·东北师大附中高三月考)数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝__________.7．(原创题)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－1an，则该数列前26项的和为________．8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝____________.二、解答题(共42分)9．(12分)已知函数f(x)＝x2－2(n＋1)x＋n2＋5n－7(n∈N*)．(1)若函数f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，试证明数列{an}是等差数列；(2)设函数f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{bn}，试求数列{bn}的前n项和Sn.10．(14分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝12nan＋an－c(c是常数，n∈N*)，a2＝6.(1)求c的值及数列{an}的通项公式；(2)证明1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋118.11．(16分)(2010·北京宣武高三期中)已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n，数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式an；(2)求数列{bn}的通项公式bn；(3)若cn＝an·bnn，求数列{cn}的前n项和Tn.答案自主梳理1．(4)n＝1或n≥2自我检测1．222.323.154.85.919课堂活动区例1解题导引1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．解(1)由已知得a1＋a2＋a3＝7a1＋3＋a3＋42＝3a2，解得a2＝2.设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝2q，a3＝2q.又S3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.解得q1＝2，q2＝12.由题意得q1，∴q＝2，∴a1＝1.故数列{an}的通项为an＝2n－1.(2)由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝lna3n＋1＝ln23n＝3nln2.又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝nb1＋bn2＝3nn＋12·ln2.故Tn＝3nn＋12ln2.变式迁移14解析设a1，a2，a3，a4的公差为d，则a1＋2d＝4，又0a12，所以1d2.易知数列{bn}是等比数列，故(1)正确；a2＝a3－d∈(2,3)，所以b2＝2a24，故(2)正确；a4＝a3＋d5，所以b4＝2a432，故(3)正确；又a2＋a4＝2a3＝8，所以b2b4＝2a2＋a4＝28＝256，故(4)正确．例2解题导引这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项an，观察Tn特点，求出Tn.由an再求bn从而求Sn，最后利用不等式知识求出m.解(1)∵an＋1＝f1an＝2an＋33an＝2＋3an3＝an＋23，∴{an}是以23为公差的等差数列．又a1＝1，∴an＝23n＋13.(2)Tn＝a1a2－a2a3＋a3a4－a4a5＋…－a2na2n＋1＝a2(a1－a3)＋a4(a3－a5)＋…＋a2n(a2n－1－a2n＋1)＝－43(a2＋a4＋…＋a2n)＝－43·n53＋4n3＋132＝－49(2n2＋3n)．(3)当n≥2时，bn＝1an－1an＝123n－1323n＋13＝9212n－1－12n＋1，又b1＝3＝92×1－13，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝92×1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝921－12n＋1＝9n2n＋1，∵Snm－20012对一切n∈N*成立．即9n2n＋1m－20012，又∵9n2n＋1＝921－12n＋1递增，且9n2n＋192.∴m－20012≥92，即m≥2010.∴最小正整数m＝2010.变式迁移2解(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q.依题意，有2(a3＋2)＝a2＋a4，代入a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8.∴a2＋a4＝20.∴a1q＋a1q3＝20，a3＝a1q2＝8，解之，得q＝2，a1＝2或q＝12，a1＝32.又{an}单调递增，∴q＝2，a1＝2.∴an＝2n.(2)bn＝2n·log122n＝－n·2n，∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.①∴－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1.②∴①－②，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝