第6章MATLAB数学实验

第6章MATLAB数学实验没有大胆的猜测，就做不出伟大的发现。——牛顿MATLAB是MatrixLaboratory的缩写，是一个集数值计算、图形处理、符号运算、文字处理、数学建模、实时控制、动态仿真和信号处理等功能为一体的数学应用软件，而且该系统的基本数据结构是矩阵，又具有数量巨大的内部函数库和多个工具箱，使得该系统迅速普及到个领域，尤其在大学校园里，许多学生借助它来学习大学数学和计算方法等课程，并用它做数值计算和图形处理等工作。下面介绍它的基本功能，并用它做与线性代数相关的数学实验。在正确完成安装MATLAB软件之后，直接双击系统桌面上的MATLAB图标，启动MATLAB，进入MATLAB默认的用户主界面，界面有3个主要的窗口：命令窗口（CommendWindow），当前目录窗口（CurrentDirectory），工作间管理窗口（Workspace）。如图6.1所示。图6.1命令窗口是和MATLAB编译器连接的主要窗口，“”为运算提示符，表示MTALAB处于准备状态，当在提示符后输入一段正确的运算式时，只需按Enter键，命令窗口中就会直接显示运算结果。如图6.2所示。图6.2数据的默认格式为五位有效数字，可用format命令改变输出格式。Help是获取帮助的命令，在它之后应该跟一个主题词。例如，helpformat，系统就会对format的用法提供说明，因此它对初学者是非常有用的。当需要编写比较复杂的程序时，就需要用到M文件，而只需要将所有命令按顺序放到一个扩展名.m的文本文件下，每次运行只需输入该M文件的文件名即可。下面介绍MATLAB程序设计中常用的程序控制语句和命令。●顺序结构是最简单的程序结构，在编写程序后，系统将按照程序的物理位置顺序执行。●选择语句。在编写程序时，往往需要根据一定的条件来执行不同的语句，此时，需要使用分支语句来控制程序的进程，通常使用if-else-end结构来实现这种控制。if-else-end结构是：if表达式执行语句1else执行语句2end此时，如果表达式为真，则系统执行语句1；如果表达式为假，则系统执行语句2.例如比较a和b的大小，其中a=40，b=10.程序设计：cleara=40;b=10;ifabdisp(‘ba’)elsedisp(‘ab’)end运行结果：ab●分支语句。另外，MATLAB语句中还提供了switch-case-otherwise-end分支语句，其使用格式如下：switch开关语句case条件语句执行语句，...，执行语句case（条件语句1，条件语句2，条件语句3，…）执行语句，...，执行语句…….otherwise执行语句，...，执行语句end在上面的分支语句中，当某个条件语句的内容与开关语句的内容相匹配时，系统将执行其后的语句，如果所有的条件语句与与开关条件都不相符合时，系统将执行otherwise后的语句。●循环语句。当遇到许多有规律的重复运算时，可以方便地使用以下两种循环语句。◆for循环基本格式是：fori=表达式，执行语句，…，执行语句end上述结构是对循环次数的控制。例求1+2+…+100的值。程序设计：》sum=0;》fori=1:100Sum=sum+i;end》sumsum=5050for循环可以重复使用，即可以多次嵌套。◆while循环的判断控制可以是逻辑判断语句，因此，它的循环次数可以是一个不定数，这样就赋予了它较for循环更广泛的用途。其使用格式如下：while表达式执行语句，...，执行语句End◆常用指令。终止命令break语句一般用在循环控制中，通过if使用语句。当if语句满足一定条件时，break语句将被调用，系统将在循环尚未结束时跳出当前循环。继续命令continue一般也用在循环控制中，通过if使用语句。当if语句满足一定条件时，continue语句将被调用，系统将不再执行相关的执行语句，并不会跳出当前循环。等待用户反应命令pause用于使程序暂时终止运行，等待用户按任意键后继续运行。该语句适合于在调试程序时需要查看中间结果的情况。除了在程序设计中需要经常用到上述命令外，还有一些常用命令在其他操作中也经常使用，比如clr可以清除工作窗口，type可以显示文件内容，quit可以退出MATLAB等。6.1矩阵的输入与特殊矩阵的生成6.1.1矩阵的输入MATLAB是以矩阵为基本变量单元的，因此矩阵的输入非常方便。输入时，矩阵的元素用方括号括起来，行内元素用逗号分隔或空格分隔，各行之间用分号分隔或直接按回车键。例6.1输入矩阵A=112103456。解在命令窗口中输入》A=[112；-103；4-56]A=1121034566.1.2矩阵的结构操作输入矩阵后，可以对矩阵进行的主要操作包括矩阵的扩充，矩阵元素的提取和变换，矩阵元素的部分删除等。下面对其作简单介绍。1.矩阵的扩充例如，用下述命令可以在上述矩阵A下面再加上一个行向量：》A（4，：）=[132]A=112103456132下述命令可以在上述矩阵A下面再加上一个列向量：》A（：，4）=[-1032]A=112-1-10304-56313222．矩阵元素的提取和变换可以用下述命令提取上述矩阵A的第3行第1列的元素：》A（3,1）ans=4可以用下述命令提取上述矩阵A的第1行第3列的元素：》A（：，[1，3]）ans=12-134612可以用下述命令提取矩阵的上三角和下三角部分及对角线元素：triu（A）——提取矩阵A的上三角部分；tril（A）——提取矩阵A的下三角部分；diag（A）——提取矩阵A的对角线元素。可以用下列命令对矩阵进行翻转和旋转：fliplr（A）——矩阵A左右翻转；flipud（A）——矩阵A上下翻转；rot90（A）——矩阵A整体逆时针旋转90度。3．矩阵元素的删除可以用下述命令删除上述矩阵A的第2行的元素：》A（2，：）=[]ans=114-5136.1.3特殊矩阵的生成某些特殊矩阵可以直接调用相应的函数得到，例如：zeros(m,n)——生成一个m行n列的零矩阵；ones（m，n）——生成一个m行n列元素都是1的矩阵；eye（n）——生成一个n阶的单位矩阵；rand（m，n）——生成一个m行n列的随机矩阵；vander（V）——生成以向量V为基础向量的范德蒙德矩阵；magic（n）——生成一个n阶魔方矩阵；hilb（n）——生成一个n阶希尔伯特矩阵；invhilb（n）——求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。例6.2随机生成一个6×7的矩阵。解》rand（6,7）ans=0.13650.28440.51550.52980.46110.41540.99010.01180.46920.33400.64050.56780.30500.77890.89390.06480.43290.20910.79460.87440.43870.19910.98830.22590.37980.05920.01500.49830.29870.58280.57980.78330.60290.76800.21400.66140.42350.76040.68080.05030.97080.6435例6.3生成一个以向量（1,2,3,5）为基础向量的范德蒙德矩阵。解》vander（[1；2；3；5]）ans=11118421279311252551习题1．输入矩阵A=378156705810115761829，并提取矩阵A的第3列和第2行元素。2．生成一个10×12阶的随机矩阵，并提取该矩阵的上三角部分。3．生成一个5阶单位阵、6阶全1矩阵，4阶魔方阵。4．求4阶希尔伯特矩阵及其逆矩阵。5．对矩阵A=212301452368进行左右、上下和90度旋转。6.2矩阵的运算6.2.1矩阵的代数运算如果已经输入矩阵A和B，则可由下述命令对其进行运算：A——A的转置；A+B——加法；k*A——数k乘A；A*B——乘法；inv（A）——A的逆阵；A^x——A的x次方；A\B——1AB；A/B——B1A。例6.4设A=121012364，B=101022351，求A、A+B、AB、2A、1AB。解程序设计结果如下：》A=[12-1；012；-364]A=121012364》B=[-101；022；351]B=101022351》Aans=103216124》A+Bans=0200340115》A*Bans=4146124153213》A^2ans=42161310152431》inv（A）*Bans=1.00000.13041.347800.34780.260900.82610.86966.2.2矩阵的特征参数运算在进行科学运算时，常常要用到矩阵的特征参数，如矩阵的行列式、秩、迹、条件书数等，在MATLAB可以用下述命令轻松地进行这些运算。det（A）——A的行列式；rank（A）——A的秩；trace（A）——A的迹；cond（A）——A的条件数；size（A）——输出A的行数和列数。例6.5求向量组T0-1,2,3，，T1401，，，，T3,1,4,2，T2,2,2,0的秩。解程序运行结果如下：》A=0132141220423120》rank(A)ans=3故可知向量组的秩为3。例6.6判断向量组1=T1,1,2,3，2=T1,1,1,1，3=T2,0,3,3，4=T3,1,5,4是否线性相关？解由1，2，3，4所组成的矩阵A=1123110121353134，只需求出A的秩或者A的行列式，即可判断其线性相关性，因此，在MATLAB命令窗口下，键入：A=[1123；1-101；2135；3134]；rank（A）ans=3即r（A）=34，故1，2，3，4线性相关。例6.7计算D=123456789。解程序运行结果如下：》A=[123；456；789]；》D=det（A）；ans=0即D=0。例6.8计算1111111111111111xxxx。解程序运行结果如下：symsxyA=[1+x111；11+x11；111+x1；1111+x]；det（A）ans=2*x*y^2+2*x^2*y+x^2*y^2习题1、设A=10510126815，B=1075243129，求A、AB、AB、2A、1BA。2、求向量组T0-1,3,4，，T3,4,8,1，T7,1,5,4，T2,12,2,0，T5,5,6,10的秩。3、计算5283312402301052。4、计算1234101101111110aaaa。5、判断向量组：1=T1,1,3,1，2=T1,3,1,5，3=T2,6,2,10，4=T3,1,15,13，5=T1,3,3,0的线性相关性。6.3线性方程组的求解在MATLAB中，求解线性方程组的方法有很多，本实验将介绍两个命令来直接求解。rref（A）——A的最简行阶梯形矩阵；linesolve（A，y，options）——求解Ax=y；null（A，’r’）——求齐次方程组Ax=0的基础解系。例6.9将矩阵A=71110148243121115化为最简行阶梯形矩阵。解程序运行结果：A=[71-1101；48-243；121-15]；rref（A）ans=1.0000002.20000.800001.000006.33331.5000001.000031.73336.1000例6.10求齐次方程组12341234123400022232xxxxxxxxxxxx的基础解系及全部解。解该方程组