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第六章向量空间§6.1定义和例子1.令F是一个数域,在3F里计算(i);1,1,0212,1,11,0,231(ii).1,3,12,31,131,1,052.证明:如果0,0,04,1,12,1,03,1,2cba,那么a=b=c=0.3.找出不全为零的三个有理数a,b,c(即a,b,c中至少有一个不是0),使得.0,0,06,2,54,0,32,2,1cba4.令1=0,0,1,2=0,1,0,3=1,0,0.证明,3R中每一个向量可以唯一地表示为332211aaa形式,这里Raaa321,,.5.证明,在数域F上向量空间V里,以下算律成立:(i)a()=a-a;(ii)(a-b)=a-b,这里a,bF,,V.6.证明:数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量,那么它一定含有无限多个向量.7.证明,对于任意正整数n和任意向量,都有n=+…+.8.证明,向量空间定义中条件3º,8)不能由其余条件推出.9.验证本节最后的等式:(1,…,n)(AB)=((1,…,n)A)B.§6.2子空间1.判断Rn中下列子集哪些是子空间:(i){(a1,0,…,0,an)|a1,anR};(ii){(a1,a2,…,an)|ni1ai=0};(iii){(a1,a2,…,an)|ni1ai=1};(iv){(a1,a2,…,an)|aiZ,i=1,…,n}.2.FMn表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间(参看6.1,例2)令S={AFMn|AA'},T={AFMn|AA'}.证明,S和T都是FMn的子空间,并且Mn(F)=S+T,ST={0}.3.设1W,2W是向量空间V的子空间,证明:如果V的一个子空间既包含1W又包含2W,那么它一定包1W+2W.在这个意义下,1W+2W是V的既含1W又含2W的最小子空间.4.设V是一个向量空间,且V{0}.证明:V不可能表成它的两个真子空间的并集.5.设W,1W,2W都是向量空间V的子空间,其中1W2W且W1W=W2W,W+1W=W+2W.证明:1W2W.6.设1W,2W是数域F上向量空间V的两个子空间,,是V的两个向量,其中W2,但1W,又2W证明:(i)对于任意kF,+k2W;(ii)至多有一个kF,使得+k1W.7.设1W,2W,…,Wr是向量空间V的子空间,且VWi,ri,2,1.证明:存在一个向量V,使得iW,ri,2,1.[提示:对r作数学归纳法并且利用第6题的结果.]§6.3向量的线性相关性1.下列向量组是否线性相关:(i)(3,1,4),(2,5,-1),(4,-3,7);(ii)(2,0,1),(0,1,-2),(1,-1,1);(iii)(2,-1,3,2),(-1,2,2,3),(3,-1,2,2),(2,-1,3,2).2.证明,在一个向量组{r,,,21}里,如果有两个向量i与j成比例,即i=kj,Fk,那么{r,,,21}线性相关.3.令iniFaaaninii,,2,1,),,,(21。证明n,,,21线性相关必要且只要行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211=0.4.设imiFaaaninii,,2,1,),,,(21,线性无关.对每一个i任意添上p个数,得到pnF的m个向量i.,,1),,,,,,,(121mibbaaaipiinii.证明{1,2,…,m}也线性无关5.设,,线性无关,证明,,也线性无关.6.设向量组{r,,,21}()2(r线性无关,任取Fkkkr121,,,.证明,向量组rrrrrrrkkk,,,,111222111线性无关.7.下列论断哪些是对的,哪些是错的,如果是对的,证明;如果是错的,举出反例:(i)如果当0,0221121rrraaaaaa时,那么r,,,21线性无关.(ii)如果r,,,21线性无关,而1r不能由r,,,21线性表示,那么r,,,21,1r也线性无关.(iii)如果r,,,21线性无关,那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合.(iv)如果r,,,21线性相关,那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合.8.设向量可以由r,,,21表示,但不能由121,,,r线性表示.证明,向量组{rr,,,,121}与向量组{121,,,r,}等价.9.设向量组r,,,21中01并且每一i都不能表成它的前1i个向量121,,,i的线性组合.证明r,,,21线性无关.10.设向量r,,,21线性无关,而r,,,21,,线性相关,证明,或者与中至少有一个可以由r,,,21线性表示,或者向量组{r,,,21,}与{r,,,21,}等价.§6.4基和维数1.令Fn[x]表示数域F上一切次数n的多项式连同零多项式所组成的向量空间.这个向量空间的维数是几?下列向量组是不是F3[x]的基:(i){x3+1,x+1,x2+x,x3+x2+2x+2};(ii){x-1,1-x2,x2+2x-2,x3}.2.求下列子空间的维数:(i)L((2,-3,1),(1,4,2),(5,-2,4))R3(ii)L(x-1,1-x2,x2-x)F[x];(iii)L(ex,e2x,e3x)C[a,b].3.把向量组{(2,1,-1,3),(-1,0,1,2)}扩充为R4的一个基.4.令S是数域F上一切满足条件A’=A的n阶矩阵A所成的向量空间,求S的维数.5.证明,复数域C作为实数域R上向量空间,维数是2.如果C看成它本身上的向量空间的话,维数是几?6.证明定理6.4.2的逆定理:如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量n,,1的线性组合,那么dimV=n.7.设W是Rn的一个非零子空间,而对于W的每一个向量(a1,a2,…,an)来说,要么a1=a2=…=an=0,要么每一个ai都不等于零,证明dimW=1.8.设W是n维向量空间V的一个子空间,且0dimWn.证明:W在V中有不只一个余子空间.9.证明本书最后的论断.§6.5坐标1.设{1,2,…,n}是V的一个基.求由这个基到{2,…,n,1}的过渡矩阵.2.证明,{x3,x3+x,x2+1,x+1}是xF3(数域F上一切次数3的多项式及零)的一个基.求下列多项式关于这个基的坐标:(i)x2+2x+3;(ii)x3;(iii)4;(iv)x2-x.3.设1=(2,1,-1,1),2=(0,3,1,0),3=(5,3,2,1)4=(6,6,1,3).证明{1,2,3,4}作成R4的一个基.在R4中求一个非零向量,使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.4.设1=(1,2,-1),2=(0,-1,3),3=(1,-1,0);1=(2,1,5),2=(-2,3,1),3=(1,3,2).证明{1,2,3}和{1,2,3}都是R3的基.求前者到后者的过渡矩阵.5.设{1,2,…,n}是F上n维向量空间V的一个基.A是F上一个sn矩阵.令(1,2,…,s)=(1,2,…,n)A.证明dimL(1,2,…,s)=秩A.§6.6向量空间的同构1.证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构.2.设WVf:是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明)(1Vf是W的一个子空间.3.证明:向量空间][xF可以与它的一个真子空间同构.§6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间1.证明:行列式等于零的充分且必要条件是它的行(或列)线性相关.2.证明,秩(A+B)秩A+秩B.3.设A是一个m行的矩阵,秩A=r,从A中任取出s行,作一个s行的矩阵B.证明,秩Br+s–m.4.设A是一个mn矩阵,秩A=r.从A中任意划去m–s行与n–t列,其余元素按原来位置排成一个st矩阵C,证明,秩Cr+s+t–m–n.5.求齐次线性方程组x1+x2+x3+x4+x5=0,3x1+2x2+x3+x4–3x5=0,5x1+4x2+3x3+3x4–x5=0,x2+2x3+2x4+x5=0的一个基础解系.6.证明定理6.7.3的逆命题:Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线生方程组的解空间.7.证明,Fn的任意一个≠Fn的子空间都是若干n–1维子空间的交.
本文标题:第6章课后题
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