第6讲幂函数与二次函数

第6讲幂函数与二次函数一、选择题1．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点4，12，则f(2)＝()A.14B．4C.22D.2解析设f(x)＝xα，因为图像过点4，12，代入解析式得：α＝－12，∴f(2)＝2－12＝22.答案C2．若函数f(x)是幂函数，且满足f4f2＝3，则f(12)的值为()A．－3B．－13C．3D.13解析设f(x)＝xα，则由f4f2＝3，得4α2α＝3.∴2α＝3，∴f(12)＝(12)α＝12α＝13.答案D3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()．A．[2－2，2＋2]B．(2－2，2＋2)C．[1,3]D．(1,3)解析f(a)＝g(b)⇔ea－1＝－b2＋4b－3⇔ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－20，解得2－2b2＋2.答案B4．已知函数f(x)＝2x，x0，x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值等于()．A．－3B．－1C．1D．3解析f(a)＋f(1)＝0⇔f(a)＋2＝0⇔a0，2a＋2＝0或a≤0，a＋1＋2＝0，解得a＝－3.答案A5.函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象关于直线x＝－b2a对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是()．A．{1,2}B．{1,4}C．{1,2,3,4}D．{1,4,16,64}解析设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－b2a对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－b2a对称．而选项D中4＋162≠1＋642.答案D6．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，a为正整数，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有两个小于1的不等正根，则a的最小值是()．A．3B．4C．5D．6解析由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.当a越大，y＝f(x)的开口越小，当a越小，y＝f(x)的开口越大，而y＝f(x)的开口最大时，y＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－b2a＝12，又b2－4ac0，a(a－4)0，a4，由于a为正整数，即a的最小值为5.答案C二、填空题7．对于函数y＝x2，y＝x12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图像关于直线y＝x对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图像都是抛物线型．其中正确的有________．解析从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较．答案①②⑤⑥8．若二次函数f(x)＝ax2－4x＋c的值域为[0，＋∞)，则a，c满足的条件是________．解析由已知得a0，4ac－164a＝0⇒a0，ac－4＝0.答案a0，ac＝49．方程x2－mx＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，则实数m的取值范围是________．解析∵α＋β＝m，α·β＝1，∴m＝β＋1β.∵β∈(1,2)且函数m＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m＜2＋12，即m∈2，52.答案2，5210．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同时满足条件：①∀x∈R，f(x)0或g(x)0；②∃x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)0，则m的取值范围是________．解析当x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，当x＝1时，g(x)＝0，m＝0不符合要求；当m0时，根据函数f(x)和函数g(x)的单调性，一定存在区间[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m0时不符合第①条的要求；当m0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f(x)的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f(x)至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f(x)有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4，函数f(x)的两个零点是2m，－(m＋3)，故m满足m0，2m－m＋3，2m－4，－m＋31或m0，－m＋32m，2m1，－m＋3－4，解第一个不等式组得－4m－2，第二个不等式组无解，故所求m的取值范围是(－4，－2)．答案(－4，－2)三、解答题11．设f(x)是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当－1≤x1时，y＝f(x)的表达式是幂函数，且经过点12，18.求函数在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表达式．解设在[－1,1)上，f(x)＝xn，由点12，18在函数图象上，求得n＝3.令x∈[2k－1,2k＋1)，则x－2k∈[－1,1)，∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期为2，∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)．12．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)[理]当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．解(1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]，∴f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.(3)当a＝1时，f(x)＝x2＋2x＋3，∴f(|x|)＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，且f(x)＝x2＋2x＋3，x∈，6]x2－2x＋3，x∈[－6，0]，∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．13．设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1x4的一切x值都有f(x)0，求实数a的取值范围．解不等式ax2－2x＋20等价于a2x－2x2，设g(x)＝2x－2x2，x∈(1,4)，则g′(x)＝2x2－x－xx4＝－2x2＋4xx4＝－2xx－x4，当1x2时，g′(x)0，当2x4时，g′(x)0，g(x)≤g(2)＝12，由已知条件a12，因此实数a的取值范围是12，＋∞.14．已知函数f(x)＝x－k2＋k＋2(k∈Z)满足f(2)f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式；(2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为－4，178？若存在，求出q；若不存在，请说明理由．解(1)∵f(2)f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数．故－k2＋k＋20，解得－1k2.又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.(2)假设存在q0满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点2q－12q，4q2＋14q处取得．而4q2＋14q－g(－1)＝4q2＋14q－(2－3q)＝4q－124q≥0，∴g(x)max＝4q2＋14q＝178，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2，∴存在q＝2满足题意．