第6讲离散型随机变量的均值与方差

第6讲离散型随机变量的均值与方差【2013年高考会这样考】1．考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念．2．利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题．【复习指导】均值与方差是离散型随机变量的两个重要数字特征，是高考在考查概率时考查的重点，复习时，要掌握期望与方差的计算公式，并能运用其性质解题．基础梳理1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．2．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．两个防范在记忆D(aX＋b)＝a2D(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X)．三种分布(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)；(2)X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)；(3)若X服从超几何分布，则E(X)＝nMN.六条性质(1)E(C)＝C(C为常数)(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数)(3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2(4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2)(5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2(6)D(aX＋b)＝a2·D(X)双基自测1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为()．A.65B.65C.2D．2解析由题意知a＋0＋1＋2＋3＝5×1，解得，a＝－1.s2＝－1－12＋0－12＋1－12＋2－12＋3－125＝2.答案D2．已知X的分布列为X－101P121316设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()．A.73B．4C．－1D．1解析E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.答案A3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为()．A．0.4B．0.6C．0.7D．0.9解析x＋0.1＋0.3＋y＝1，即x＋y＝0.6.①又7x＋0.8＋2.7＋10y＝8.9，化简得7x＋10y＝5.4.②由①②联立解得x＝0.2，y＝0.4.答案A4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则()．A．n＝8，p＝0.2B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32D．n＝7，p＝0.45解析∵X～B(n，p)，∴E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，∴n＝8，p＝0.2.答案A5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出：ξ78910P0.30.350.20.15该随机变量ξ的均值是________．解析由分布列可知E(ξ)＝7×0.3＋8×0.35＋9×0.2＋10×0.15＝8.2.答案8.2考向一离散型随机变量的均值和方差【例1】►A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如下：对阵队员A队队员胜的概率A队队员负的概率A1和B12313A2和B22535A3和B32535现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队，B队最后所得总分分别为X，Y(1)求X，Y的分布列；(2)求E(X)，E(Y)．[审题视点]首先理解X，Y的取值对应的事件的意义，再求X，Y取每个值的概率，列成分布列的形式，最后根据期望的定义求期望．解(1)X，Y的可能取值分别为3,2,1,0.P(X＝3)＝23×25×25＝875，P(X＝2)＝23×25×35＋13×25×25＋23×35×25＝2875，P(X＝1)＝23×35×35＋13×25×35＋13×35×25＝25，P(X＝0)＝13×35×35＝325；根据题意X＋Y＝3，所以P(Y＝0)＝P(X＝3)＝875，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝2875，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝25，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝325.X的分布列为X0123P325252875875Y的分布列为Y3210P325252878875(2)E(X)＝3×875＋2×2875＋1×25＋0×325＝2215；因为X＋Y＝3，所以E(Y)＝3－E(X)＝2315.(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．(2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解．【训练1】(2011·四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14；两人租车时间都不会超过四小时．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．解(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为14，14.记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝14×12＋12×14＋14×14＝516.所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为516.(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝14×12＝18；P(ξ＝2)＝14×14＋12×12＝516；P(ξ＝4)＝12×14＋14×12＋14×14＝516；P(ξ＝6)＝12×14＋14×14＝316；P(ξ＝8)＝14×14＝116.甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为ξ02468P18516516316116所以E(ξ)＝0×18＋2×516＋4×516＋6×316＋8×116＝72.考向二均值与方差性质的应用【例2】►设随机变量X具有分布P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，DX－1.[审题视点]利用期望与方差的性质求解．解∵E(X)＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.E(X2)＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.D(X)＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15＝15(4＋1＋0＋1＋4)＝2.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝E(X2)＋4E(X)＋4＝11＋12＋4＝27.D(2X－1)＝4D(X)＝8，DX－1＝DX＝2.若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算．【训练2】袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号．(1)求X的分布列、期望和方差；(2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值．解(1)X的分布列为X01234P1212011032015∴E(X)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D(X)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D(η)＝a2D(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(η)＝aE(X)＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴a＝2，b＝－2，或a＝－2，b＝4，即为所求．考向三均值与方差的实际应用【例3】►(2011·福建)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X15678P0.4ab0.1且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：(1)产品的“性价比”＝产品的等级系数的数学期望产品的零售价；(2)“性价比”大的产品更具可购买性．[审题视点](1)利用分布列的性质P1＋P2＋P3＋P4＝1及E(X1)＝6求a，b值．(2)先求X2的分布列，再求E(X2)，(3)利用提示信息判断．解(1)因为E(X1)＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，即a＋b＝0.5.由6a＋7b＝3.2，a＋b＝0.5，解得a＝0.3，b＝0.2.(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为66＝1.因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为4.84＝1.2.据此，乙厂的产品更具可购买性．解决此类题目的关键是将实际问题转化为数学问题，正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，本题第(1)问中充分利用了分布列的性质p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.【训练3】某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为12，14，14；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．(1)如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布及E(X)；(2)若把10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．解(1)依题意，X的可能取值为1,0，－1，X的分布列为X10－1P121414E(X)＝12－14＝14.(2)设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为：Y2－2PαβE(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥14，∴916≤α≤1.规范解答23——离散型随机变量的均值与方差的计算【问题研究】期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．【解决方案】(1)掌握好期望与方差的性质．(2)记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．