第7章例题源程序

例7.1当λ取何值时，齐次线性方程组：0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx有非零解。symslamdaA=[1-lamda,-2,4;2,3-lamda,1;1,1,1-lamda];D=det(A);factor(D)例7.2求下列极限。（1）axaxmmaxlim（2）xaxaxx)sin()sin(lim0（3）)1(lim2xxxx（4）22limaxaxaxaxsymsamx;f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);limit(f,x,a)%求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x))/x;limit(f)%求极限(2)f=x*(sqrt(x^2+1)-x);limit(f,x,inf,'left')%求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a))/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,'right')%求极限(4)例7.3求下列函数的导数。(1)xey1，求y'。(2)y=xcos(x)，求y''、y'''。(3)taytaxsincos，求'xy、''xy。(4)2yxezy，求'xz、'yz。(5)z=f(x,y)由方程x2+y2+z2=a2定义，求'xz、'yz。symsabtxyz;f=sqrt(1+exp(x));diff(f)%求(1)。未指定求导变量和阶数，按默认规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2)%求(2)。求f对x的二阶导数diff(f,x,3)%求(2)。求f对x的三阶导数2f1=a*cos(t);f2=b*sin(t);diff(f2)/diff(f1)%求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数%求(3)。求y对x的二阶导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2))/(diff(f1))^3f=x*exp(y)/y^2;diff(f,x)%求(4)。z对x的偏导数diff(f,y)%求(4)。z对y的偏导数f=x^2+y^2+z^2-a^2;zx=diff(f,x)/diff(f,z)%求(5)。zy=diff(f,y)/diff(f,z)%求(5)。例7.4在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。x=sym('x');y=x^3+3*x-2;%定义曲线函数f=diff(y);%对曲线求导数g=f-4;solve(g)%求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4例7.5求下列不定积分。(1)dxx32)3((2)xdx2sin(3）dtet(4)dtxxt215x=sym('x');f=(3-x^2)^3;int(f)%求(1)f=sin(x)^2;-1/2*cos(x)*sin(x)+1/2*xsymsalphat;f=exp(alpha*t);int(f)%求(3)f=5*x*t/(1+x^2);int(f,t)%求(4)例7.6求下列定积分。(1)dxx211(2)dxx211(3)dxxx32103)1((4)dttxxsin24x=sym('x');t=sym('t');int(abs(1-x),1,2)%求(1)f=1/(1+x^2);int(f,-inf,inf)%求(2)f=x^3/(x-1)^10;I=int(f,2,3)%求(3)3double(I)%将上述符号结果转换为数值int(4*x/t,t,2,sin(x))%求(4)例7.7求椭球的体积。1222222czbyaxsymsabcz;f=pi*a*b*(c^2-z^2)/c^2;V=int(f,z,-c,c)例7.8求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。设曲线c的方程是：32233tztytxsymst;x=3*t;y=3*t^2;z=2*t^3;f=diff([x,y,z],t);%求x,y,z对参数t的导数g=sqrt(f*f');%计算一型积分公式中的根式部分l=int(g,t,0,1)%计算曲线c的长度例7.9求函数y=x的傅立叶变换及其逆变换。symsxt;y=abs(x);Ft=fourier(y,x,t)%求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x)%求Ft的傅立叶逆变换例7.10计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.x=sym('x');y=x^2;Ft=laplace(y,x,t)%对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x)%对函数Ft进行拉普拉斯逆变换例7.11求数列fn=e-n的Z变换及其逆变换。symsnzfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z)%求fn的Z变换f=iztrans(Fz,z,n)%求Fz的逆Z变换例7.12求下列级数之和。(1)21116191411ns(2)nsn1)1(4131211124(3)nnxxxxs32332(4)10000169414sn=sym('n');s1=symsum(1/n^2,n,1,inf)%求s1s2=symsum((-1)^(n+1)/n,1,inf)%求s2。未指定求和变量，默认为ns3=symsum(n*x^n,n,1,inf)%求s3。此处的求和变量n不能省略。s4=symsum(n^2,1,100)%求s4。计算有限级数的和例7.13求函数的泰勒级数展开式。(1)求3233121xxxx的5阶泰勒级数展开式。(2)将2211xxxx在x=1处按5次多项式展开。x=sym('x');f1=sqrt(1-2*x+x^3)-(1-3*x+x^2)^(1/3);f2=(1+x+x^2)/(1-x+x^2);taylor(f1,x,5)%求(1)。taylor(f2,6,1)%求(2)。展开到x-1的5次幂时应选择n=6例7.14解下列方程。(1)22144212xxxx(2)17433xxx(3)1)43sin(2x(4)010xxexx=solve('1/(x+2)+4*x/(x^2-4)=1+2/(x-2)','x')%解方程(1)f=sym('x-(x^3-4*x-7)^(1/3)=1');x=solve(f)%解方程(2)x=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1')%解方程(3)x=solve('x+x*exp(x)-10','x')%解方程(4)。仅标出方程的左端例7.15求下列方程组的解。(1)411281133yxyx(2)29833yxyx(3)29833vuvu(4)023252222yxyxyx5命令如下：[xy]=solve('1/x^3+1/y^3=28','1/x+1/y=4','x,y')%解方程组(1)[xy]=solve('x+y-98','x^(1/3)+y^(1/3)-2','x,y')%解方程组(2)例7.16求下列微分方程的解。(1)求2222xyxdxdy的通解。(2)求xexydxdyx22的通解。(3)求221yxdxdy的特解，1)2(y。(4)求y2xdtdy2y4xdtdx的通解。(5)求002222xdtydydtxd的通解。y=dsolve('Dy-(x^2+y^2)/x^2/2','x')%解(1)。方程的右端为0时可以不写y=dsolve('Dy*x^2+2*x*y-exp(x)','x')%解(2)y=dsolve('Dy-x^2/(1+y^2)','y(2)=1','x');%解(3)[x,y]=dsolve('Dx=4*x-2*y','Dy=2*x-y','t')%解方程组(4)[x,y]=dsolve('D2x-y','D2y+x','t');%解方程组(5)