第7课时函数的简单性质教师版

听课随笔第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数的概念与图像§2.1.3函数的简单性质--单调性(2)【学习导航】学习要求1．熟练掌握证明函数单调性的方法；2．会证明一些较复杂的函数在某个区间上的单调性；3．能利用函数的单调性解决一些简单的问题．【精典范例】一．较复杂函数的单调性证明：例1：判断函数21()fxxx((0,))x的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．【证明】函数21()fxxx((0,))x是增函数．证明如下：设120xx，则221212211212121211()()()()fxfxxxxxxxxxxxxx1212121()()xxxxxx，∵120xx，∴120xx，121210xxxx，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx，∴函数21()fxxx((0,))x是增函数．说明：本题中的函数()fx可视作函数2yx和1yx的和，这两个函数在(0,)内都是增函数，()fx也是增函数．由此可见：如果两个函数在同一区间上都是增（减）函数，那么它们的和也是增函数。二．证明函数的单调性：例2：求证：函数2()1fxxx在R上是单调减函数．【证明】设12xx，则221212122212122212()()11()()11fxfxxxxxxxxxxx12122212221122122212()(1)1111()11xxxxxxxxxxxxxx，∵12xx，∴120xx；∵2111||1xxx，∴21110xx，同理22210xx，∴221122110xxxx，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx，∴2()1fxxx在R上是单调减函数．例３：(1)若函数2()45fxxmxm在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数，则实数m的值为；（2）若函数2()45fxxmxm在[2,)上是增函数，则实数m的取值范围为；（3）若函数2()45fxxmxm的单调递增区间为[2,)，则实数m的值为．解：（１）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x即28m即16m；听课随笔（２）由题意可以知道28m即16m；（３）由二次函数的图像我们可以知道该二次函数的对称轴是2x即28m即16m；追踪训练一1.函数()fx是定义域上单调递减函数，且过点(3,2)和(1,2)，则|()|2fx的自变量x的取值范围是（B）()A(3,)()B(3,1)()C(,1]()D(,)2.已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与3()4f的大小关系是小于等于．3.求证：函数()2fxxx在7(,)4上是增函数．证明：设1274xx，∴21()()fxfx22112121212121212121(2)(2)()(22)()()22221()220xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以原命题成立．【选修延伸】已知函数单调性，求参数范围：例4:已知函数()yfx的定义域为R，且对任意的正数d，都有()()fxdfx，求满足(1)(21)fafa的a的取值范围．【解】∵0d时，()()fxdfx，∴函数()yfx是减函数，∴由(1)(21)fafa得：121aa，解得23a，∴a的取值范围是2(,)3．点评:注意函数的单调区间是定义域上的区间，也就是说函数的单调区间一定是函数定义域的子集。若本例题中的定义域改为(1,1)的a的范围又怎样了呢？听课随笔追踪训练1．已知函数()fxax和()bgxx在(0,)上都是减函数，则2()hxaxbxc在(,0)上（A）()A是增函数()B是减函数()C既不是增函数也不是减函数()D()hx的单调性不能确定2.若函数2()2(1)2fxxax在区间(,4)上是减函数，则实数a的取值范围是3a．3.若()fx在R上是增函数，且0ab，则()()fafb＞()()fafb．（注：从、、中选择一个填在横线上）4.函数14)(2mxxxf在(,3]上递减，在),2[上递增，则实数m的取值范围[24,16].5．用函数单调性的定义证明：函数3()fxxx在,上是增函数．证明：设12xx∴21()()fxfx33221133212122212121212221211()()()()()()()13()[()1]240xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx即21()()fxfx故函数3()fxxx在,上是增函数．【师生互动】学生质疑教师释疑