第8章数字滤波器的响应

第8章数字滤波器的响应一个数字滤波器是一个处理离散时间信号的系统。在这章，我们研究这种脉冲和频率响应的线性定常系统。预期的学习成果包括:（i）理解在塑造一个LTI系统时脉冲响应之间的关系、频率响应、差分方程和传递函数;（ii）能够识别无限脉冲响应(IIR)和有限脉冲响应(FIR)滤波器，注意一个数据响应是一个可以进行离散时间信号的系统;（iii）计算系统频率响应的能力。ResponseofdigitalfiltersAdigitalfilterisasystemwhichprocessesdiscrete-timesignals.Inthischapter,theimpulseandfrequencyresponsesoflineartime-invariant(LTI)systemsarestudied.Theintendedlearningoutcomesinclude:(i)Understandingtherelationshipsbetweenimpulseresponse,frequencyresponse,differenceequationandtransferfunctionincharacterizingaLTIsystem;(ii)Abilitytoidentifyinfiniteimpulseresponse(IIR)andfiniteimpulseresponse(FIR)filters;and(iii)Abilitytocomputesystemfrequencyresponse.8.1线性定常系统特性图8.1显示了框图数字处理的一个模拟信号与使用一个配置线性定常能控系统。在这一章,研究脉冲响应和频率响应的过滤器处理离散LTI输入x[n]产生输出序列y[n]是我们研究的重点。X[t]x[n]y[n]y[t]通过前面章节,我们已经知道LTI系统可以以其脉冲响应、频率响应、差分方程和传递函数。快速回顾,如下：8.1lineartime-invariantsystemcharacterizationFigure8.1showstheblockdiagramfordigitalprocessingofananalogsignalwiththeuseofaLTIsystem.Inthischapter,ourfocusistostudytheimpulseresponseandfrequencyresponseoftheLTIfilterwhichprocessesthediscrete-timeinputx[n]toproducetheoutputsequencey[n].Frompreviouschapters,wehavelearnedthattheFTIsystemcanbecharacterizedbyitsimpulseresponse,frequencyresponse,differenceequationandtransferfunction.Aquickreviewisgivenasfollows脉冲响应让h[n]是LTI过滤器的脉冲响应。回想一下(3.17),它通过卷积来构建系统:（8.1）h[n]是LTI过滤器的主导时间回应。也就是说,如果h[n]是可用的,我们可以通过使用x[n]来产生y[n]。事实上，脉冲响应是时域响应的过滤器。ImpulseResponseLeth[n]betheimpulseresponseoftheFTIfilter.Recallfrom(3.17),itcharacterizesthesystemviatheconvolution:Thatisifh[n]isavaliable,wecanproducey[n]*频率响应这个配置线性定常能控系统也可以特征的频率响应,我们可根据（6.17）知道：这是离散傅里叶变换的H[n]。让x和y分别是DTFTsofx和y[n][n]。这确实是如8.1所表示的频率。即,在时域卷积中对应于多样的频域。*差分方程一个LIT系统可以满足了不同方程的形式:也就是说,我们可以使用一个差分方程来配置线性定常能控系统的特性。*传递函数如表格(5.41),(5.42),传递函数H(z)等于z变换的y[n],y(z),然后除以z变换的x[n],x(z),它是通过把z变换两边(8.3):即,传递函数可以用来描述LTI过滤器。然而,只有脉冲响应h[n]和频率响应h()可以独特的配置;不同配置线性定常能控系统方程和传递函数可能不会。一般来说,H(z)不能给到一个独特的H[n]，除非收敛区(ROC)被指定。因为它的等价的传递函数，结果使得不唯一的差分方程是隐含的。124例8.1通过输入x[n]和输出y[n]来给出了以下不同的方程式：y[n]=ay[n-1]+x[n]找出所有通过给定的X[n]的值求出Y[n]值的途径。事实上,有两种方法来计算y[n]。一个简单和实用的方法是通过使用差分方程与一个给定的初始条件y[-1]递归并运用不同的递归方程来实现一个因果系统：Y[0]=ay[-1]+x[0]Y[1]=ay[0]+x[1]Y[2]=ay[1]+x[2].........另一方面,可以通过重组差分方程实现一个因果系统:这样的话,我们就需要一个初始的期望值y[-1]和期望的输入,并通过递归实现:.........因此，可以看到，差分方程不能独特的描述系统。然而，如果假设因果关系，那么差分方程就能回应独特的LIT系统。或者,我们也可以使用相应的传递函数H【z】来研究计算y[n]。运用差分方程的z变换,系统传递函数H[z]为:125由于没有指定收敛域，就有两种可能情况，分别为：|Z||a|和|Z||a|,对于|Z||a|或者|aZ-1|1，我们能利用Z的反变换得到：很明显,n时刻的输出取决于n时刻的输入，因此这个对应的因果系统可以实现相同的功能。同样的结果也可以通过首先查找系统脉冲响应h[n]，再通过逆z变换h[z]来得到：然后计算x[n]h[n]。从第五章的第五页可以看出,当脉冲响应是一个无限的时间序列时，因果系统的收敛域应该对应的满足|z||Pmax|。对于|Z||a|或者||1，我们能利用Z的反变换得到：它可以回应非因果系统。例8.2通过下列差分方程来讨论线性时不变系统输入X[n]和输出Y[n]的所有可能的相关性：在系统函数的差分方程量中Z变换后的H(Z)为：方程在Z=0处有两个零点，在Z=0.4和Z=5处有两个极点。有如下的3个可能的收敛域：|Z|5，收敛域在以最大绝对值的半径为极点的圆之外，这种情况下，该系统可能是因为系统不在单元域内，所以导致该系统不稳定。0.4|Z|5，虽然不具备因果关系，但由于收敛域包含单位圆，故该系统是稳定的。|Z|0.4，系统既不稳定也不具备因果关系。8.2数字滤波器脉冲响应当系统传递函数H(z)是一个仅仅只有一个极点的有理函数时，我们可以得到：（8.5）第一个部分只有在MN时才成立。如果系统为因果系统，收敛域必须满足|Z||Pmax|，其中|Pmax|是极值点的最大绝对值。通过收敛域，得到脉冲响应h[n]为：（8.6）对应于IIR和FIR滤波器，公式8.6分别有两种可能的情况，：*IIR滤波器如果n=1或至少有一个极点,由于脉冲响应h[n]是无限长的，因此该系统也被称为作为IIR滤波器。FIR滤波器如果N=0或者是不存在极点，因为脉冲响应h[n]的时间是有限的，那么系统就称作FIR滤波器，注意IIR和FIR系统的定义对任何非因果系统都适用例8.3确定如果下列差分方程能够回应IIR和FIR系统。假设所有系统都是因果系统（a）y[n]=0.1y[n-1]+x[n](b)y[n]=x[n]+2x[n-1]+3x[n-2]用z来变换（a）可以生成：Y（z）=αz-1Y(z)+X(z)＝＞H(z)=)()(zXzY=)1(^1.011z它可以产生一个极点，对于因果系统，系统脉冲响应之后h(n)=(0.1)nu[n]-H(z)=)1(^1.011z,|z|0.1这是一个右侧序列和对应的一个IIR系统作为h[n]有着无限持续时间类似的，（b）也是这个道理：Y（z）=X(z)+2z-1X(z)+3z-2X(z)=H(z)=)()(zXzY=1+2z-1+3z-2这个就没有任何的非零极点。随后的脉冲响应：h[n]=δ[n]+2δ[n-1]+3δ[n-2]这对于FIR系统h[n]就是有持续时间的了。值得指出的是因为在这种情况下只有一个可能的时间域，那么差分方程和传递函数可以很独到的描述一个LT1FIR系统。8.3数字滤波器的频率响应脉冲响应是h[n]频率响应是H(ejw)的LT1系统是通过以DTFT的h[n]获得的H(ejw)=njwnenh)(^][依照（5.8），当有理数系统函数H（z）可用的时候频率响应也可以因此获得假设H（z）的时间域包括单位圆。例8.4运用脉冲回应的模式来画出系统的频率回应。接下来的例7.6，我们在执行离散傅里叶变换产生更多的DTFT样本之前并在h[n]的结尾添加很多的零。就像是函数H（）是复杂的一样，我们如图8.2所示画出它的大小和相位响应。很明显，这个系统对应于一个低通滤波器，那就是，它提供了一个获得约【0,0.1π】的频率信号，虽然其他频率的信号被抑制，但结果还是可以证实示例6.3尽管h[n]是有限的时间MATLAB程序就像图8.4所提供的那样。数字滤波器的响应图8.2：频率响应sinch[n]例8.5通过传递函数h[z]的模式来画出系统的频率回应图示。假定H（z）的范围域包括单位圆。根据（8.8），我们使用MATLAB的命令代码b=[1,2,3]a=[2,3,4]freqz=(b,a)H（z）的幅度和相位响应是绘制在图8.3.从中我们可以看到系统回应一个带通滤波器，这是因为输入信号频率在w=0.7π可以通过该系统而没有抑制信号频率。Matlab程序如8.5所示：Normallzod频率（×πrad/sample）相位（degrees）Normallzod频率（×πrad/sample）图8.3：二阶系统的频率响应8.4:8.5: