第9章弯曲变形

第9章教学方案——弯曲变形基本内容弯曲变形概述挠曲线微分方程及其积分用叠加法求梁的位移简单静不定梁教学目的1、了解梁弯曲变形的工程实例，掌握挠度及转角的概念及关系。2、理解挠曲线微分方程及其积分。3、熟练掌握用叠加法求梁的变形。4、了解简单静不定梁的求解。重点、难点叠加法求梁的变形。图9.1图9.2图9.3第9章弯曲变形9.1弯曲变形概述9.1.1弯曲变形问题的工程实例弯曲变形：当杆件受弯时，杆件的轴线由直线变成曲线，称为弯曲变形。限制弯曲变形的工程实例：在工程实际中，为保证受弯构件的正常工作，除了要求构件有足够的强度外，在某些情况下，还要求其弯曲变形不能过大，即具有足够的刚度。例如，轧钢机在轧制钢板时，轧辊的弯曲变形将造成钢板沿宽度方向的厚度不均匀（图9.1）；齿轮轴若弯曲变形过大，将使齿轮啮合状况变差，引起偏磨和噪声（图9.2）。利用弯曲变形的工程实例：例如，汽车轮轴上的叠板弹簧（图9.3），就是利用弯曲变形起到缓冲和减振的作用的。此外，在求解静不定梁时，也需考虑梁的变形。9.1.2梁的位移的度量——挠度和转角在载荷作用下梁将发生平面弯曲，其轴线由直线变为一条连续光滑的平面曲线，该曲线称为挠曲线（图9.4）。以梁的最左端O点为原点建立坐标系Oxy，挠曲线上任一点x处的纵坐标w是梁x横截面的形心沿y方向的线位移，称为挠度。为了表示清楚位移的方向，规定向上的挠度w为正，向下的挠度w为负。这样，挠曲线方程可以写为)(xww（9-1）在小变形情况下，梁的挠度远小于梁的跨度l，因此可以忽略截面形心沿轴线方向的位移。弯曲变形时，横截面绕中性轴发生转动，其转过的角度θ称为转角。转角θ就是挠曲线法线与y轴的夹角。为了表示转角的转向，规定逆时针为正，顺时针为负。转角可以用转角方程表示)(x（9-2）图9.49.1.3挠度和转角的关系弯曲变形用挠度w和转角θ这两个位移量来度量。由图9.4可以看出，转角θ与挠曲线在该点的切线倾角相等。在小变形情况下xwddtan（9-3）即横截面的转角可以用该点处挠曲线切线的斜率表示。只要知道挠曲线方程，就能确定梁上任一横截面的挠度和转角。9.1.4梁的刚度条件在工程实际中，为了保证弯曲杆件的正常工作，有时会限定梁的最大挠度和最大转角，得到刚度条件maxmaxfw（9-4）式中，[f]和[θ]分别为许用挠度和许用转角。9.2挠曲线微分方程及其积分9.2.1挠曲线微分方程在纯弯曲时，挠曲线曲率1/ρ与弯矩M的关系为式（8-1），即EIM1在横力弯曲时，如果是细长梁，剪力对变形的影响可以忽略，上式仍然成立，但曲率和弯矩都是x的函数，即EIxMx1（a）)(xww上任一点的曲率为23222dd1dd1xwxwx（b）图9.5图9.7EIxMxw22dd（c）根据弯矩的符号规定和挠曲线二阶导数与曲率中心方位的关系，在所取坐标系下弯矩M的正负号始终与22ddxw的正负号一致EIxMxw22dd（9-5）式(9-5)即为梁的挠曲线微分方程。9.2.2挠曲线微分方程的积分对式(9-5)积分一次，得转角方程CxEIMxwddd（9-6a）再积分—次．可得挠曲线方程DCxxxEIMwdd（9-6b）式中C、D为积分常数。当梁为等截面梁时，EI为常数，可以提到积分符号外面。如果梁的弯矩方程是分段函数，则上面的积分式也应分段积分。9.2.3积分常数的确定积分常数C和D可以通过梁上某些位置的已知挠度和转角或应满足的变形关系来确定。支承条件：支座处的挠度或转角是已知的。例如铰支座处的挠度为零，则在图9.6（a）中，在x=0和x=l处，wA=wB=0；又如固定端约束处的挠度和转角均为零，则在图9.6（b）中，在x=0处，wA=0、θA=0。只要将这些数据代入式（9-6）中就可确定C和D。图9.6图9.8连续光滑条件：因为挠曲线是一条连续光滑的曲线，所以在梁的积分分段点处，通过左右两段弯矩方程积分算出的挠度和转角是相等的。例如图9.7所示梁在集中力F作用点A处，有连续光滑条件为wA左=wA右和θA左=θA右。9.2.4用积分法求梁的位移对（9-5）式进行积分，并根据约束条件和连续光滑条件确定积分常数，再将已确定的积分常数代回积分式，即可得到梁的挠曲线方程和转角方程，从而可确定任一截面的挠度及转角。这种求梁的位移的方法称为积分法。在工程计算中，习惯用f表示梁特定截面处的挠度。【例9-1】简支梁AB受均布载荷q作用，如图9.8所示。建立梁的挠曲线方程和转角方程，并计算最大挠度和最大转角。解：（1）计算支反力，列弯矩方程和挠曲线微分方程通过平衡方程可得2qlFFByAy弯矩方程为故挠曲线微分方程为)(2dd222xlxEIqxw（2）对挠曲线微分方程积分将上式积分两次，得CxlxEIqxw322dd32和DCxxlxEIqw126243（3）确定积分常数将约束条件x=0处w=0和x=l处w=0代入上式中，可得D=0，和EIqlC243（4）建立挠曲线方程和转角方程将C、D值代入积分式，分别得到挠曲线方程和转角方程3323434624224lxlxEIqxlxlxEIqw（5）计算最大挠度和最大转角全梁上的弯矩都为正，所以梁的挠曲线是一条上凹的曲线，又根据结构和载荷的对称性，可画222)(2qxxqlxqxxFxMAy图9.9出挠曲线的大致形状如图9.8中所示。在梁中点处有最大挠度，在梁的支座A、B处有最大转角。将相应的x坐标代入挠曲线方程和转角方程中，得EIqlEIqlwfxlx24384530max42max和负号表示其变形方向与规定的正向相反。【例9-2】图9.9所示简支梁在C点作用一集中力F，梁的抗弯刚度为EI，求梁的挠曲线方程和转角方程。解：（1）计算支反力，列弯矩方程通过平衡方程可得lFaFlFbFByAy,分段列弯矩方程AC段)0()(111axxlFbxMCB段)()()(2222lxaaxFxlFbxM（2）分段列挠曲线微分方程并积分分别列AC和CD段的挠曲线微分方程，并两次积分，结果见下表。AC段（0≤x1≤a）CB段（a≤x2≤l）)(b6)(a211113111211DxCxlFbEIwCxlFbwEIxlFbwEI)(b6)(6)(a2)(2)(2222323222222222DxCaxFxlFbEIwCaxFxlFbwEIaxFxlFbwEI（3）确定积分常数积分出现4个常数，需4个条件来确定。因为挠曲线是连续光滑的曲线，在两段交界面C处，由（a1）式确定的转角和由（a2）式确定的转角相等；由（b1）式确定的挠度和由（b2）确定的挠度相等。即2233113222126)(662)(22DaCaaFalFbDaCalFbCaaFalFbCalFb由此可得：C1=C2，D1=D2在梁的A、B两端有铰支座，根据约束条件有当x1=0时，EIw=D1=0当x2=l时，06)(62233DlCalFllFbEIw图9.10可得)(6,0222121bllFbCCDD（4）建立挠曲线方程和转角方程将4个积分常数代回（a1）、（a2）和（b1）、（b2）式，分别得到转角方程和挠曲线方程，见下表。AC段（0≤x1≤a）CB段（a≤x2≤l）)(d)(6)(c)3(612122112122xbllFbxEIwxbllFbwEI)(d)()(6)(c)(3)3(6232222222222222axblxxbllFbEIwaxblxbllFbwEI如果要求梁上的最大挠度和最大转角，可以首先根据挠曲线的大致形状判断最大值出现的截面位置。最大转角出现在两端截面上，在（c1）式和（c2）式中分别代入x1=0和x2=l，得EIlalFabEIlblFabBA6)(,6)(若a＞b，可以断定θB为最大转角。最大挠度可以用求极值的方法计算。可以证明，梁的最大挠度所在位置非常接近于梁的中点，因此常用简支梁中点的挠度来代替梁的最大挠度。则有)43(48222maxblEIFbwflx积分法是求梁的变形的基本方法，它可以直接运用积分求得梁的挠曲线方程和转角方程，进而求出特定截面的挠度或转角。9.3用叠加法求梁的位移在实际工程中，粱上可能同时作用几种载荷，此时若用积分法计算其位移，则计算过程比较烦琐，计算工作量大。由于研究的是小变形，材料处于线弹性阶段，因此所计算的梁的位移与梁上的载荷成线性关系。所以，当梁上同时作用几种载荷时，可先分别求出每一载荷单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各载荷同时作用时所引起的位移。这种计算弯曲变形的方法称为叠加法。为了使用方便，将各种常见载荷作用下的简单梁的转角和挠度计算公式及挠曲线方程列于表9-1中。利用表格，按叠加法计算梁在多个载荷共同作用下所引起的位移是很方便的。9.3.1多个载荷作用时求梁的位移的叠加法根据叠加法，几个载荷共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面位移的代数和。【例9-3】求图9.10（a）所示梁C截面的挠度和B截面的转角。设EI为常数。解：（1）梁的位移的分解梁上有集度为q的均布载荷和集中力F作用，其C截面的挠度和B截面的转角为两个载荷单独作用下位移的代数和。即FBqBBFCqCCfff)()()()(（2）在均布力作用下B截面转角查表9-1中第7栏可得EIqlqB24)(3C截面的挠度可以通过查表9-1中第7栏的挠曲线方程，代入坐标值lx32计算。即EIqlllllEIlqfqC972113232224)32()(4323（3）在集中力F作用下B截面转角查表9-1中第6栏可得EIqlEIFlEIlllllFFB8158156323132)(32C截面的挠度可以通过查表9-1中第6栏的两段中的任一段挠曲线方程，代入坐标值lx32计算。即EIqlEIFllllEIlllFfFC243524353326323)(43222（4）叠加EIqlEIqlEIqlEIqlEIqlEIqlfffFBqBBFCqCC6486781524)()(97231243597211)()(333444【例9-4】如图9.11（a）所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求B点转角和挠度。解：（1）在F单独作用下：查表9-1中第2栏可得：EIFlwEIFlBFBF3,232图9.11（2）在q单独作用下：查表9-1中第3栏可得EIqlEIlqwEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433由于CB段没有弯矩作用，挠曲线保持直线状态，而两段挠曲线在C点应相切，所以B点的转角和挠度为EIqllEIqlEIqllwwEIqlCqCqBqCqBq38472481282484343（3）在F和q共同作用下：EIqlEIFlwwfEIqlEIFlBqBFBBqBFB3847348243329.3.2逐段刚化法在有些情况下，梁上某截面的位移是由几段梁的弯曲变形共同引起的。在计算其位移时，可以分别计算各段梁单独变形引起的该截面的位移，然后代数求和，这种分析方法称为逐段刚化法。对于表9-1中没有列出的外伸梁情况以及变截面梁情况，常用逐段刚化法分析。在梁上作用多个载荷情况下，可以先分解成单个载荷作用情形，然后分别用逐段刚化法分析，再进行位移叠加。下面通过举例说明其分