第9课时函数模型及其应用

1第2章第9课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利()A．25元B．20.5元C．15元D．12.5元解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：D2．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地前往B地，到达B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x(千米)表示为时间t(小时)的函数，则下列正确的是()A．x＝60t＋50t(0≤t≤6.5)B．x＝60t，0≤t≤2.5150，2.5＜t≤3.5150－50t，3.5＜t≤6.5C．x＝60t，0≤t≤2.5150－50t，t＞3.5D．x＝60t，0≤t≤2.5150，2.5＜t≤3.5150－50t－3.5，3.5＜t≤6.5解析：依题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可．答案：D3．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()2解析：设原有荒漠化土地面积为b，由题意可得y·b＝b(1＋10%)x，即y＝(1＋10%)x.答案：D4．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是()x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61A.y＝2xB．y＝log2xC．y＝12(x2－1)D．y＝2.61cosx解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近．答案：B5．如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿A→B→C→M运动时，点P经过的路程设为x，△APM面积设为y，则函数y＝f(x)的图象只可能是下图中的()解析：据题意可得f(x)＝12x0≤x≤1，34－14x1x≤254－12x2x≤52，，易知只有A选项符合条件．答案：A6．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若m分钟后甲桶中的水只有a8，则m的值为()3A．7B．8C．9D．10解析：令18a＝aent，即18＝ent，因为12＝e5n，故18＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.答案：D二、填空题7．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈________.解析：∵10.6＝1.06(0.50×[m]＋1)，∴0.5[m]＝9，∴[m]＝18，∴m∈(17,18]．答案：(17,18]8．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析：依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.答案：49．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.可以享受折扣优惠金额折扣率不超过500元的部分5%超过500元的部分10%4某人在此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，则y关于x的解析式为y＝0，0＜x≤800，5%x－800，800＜x≤1300，10%x－1300＋25，x＞1300.若y＝30元，则他购物实际所付金额为________元．解析：若x＝1300元，则y＝5%(1300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x＞1300.∴由10%(x－1300)＋25＝30，得x＝1350(元)．答案：1350三、解答题10．某旅游商品生产企业2009年某商品生产的投入成本为1元/件，出厂价为流程图的输出结果p元/件，年销售量为10000件，因2009年国家长假的调整，此企业为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每件投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计销售量增加的比例为0.8x.已知利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出2010年预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使2010年的年利润比2009年有所增加，问：投入成本增加的比例x应在什么范围内？解析：(1)由流程图可知p＝1.2.依题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×10000×(1＋0.8x)＝－800x2＋600x＋2000(0＜x＜1)．(2)要保证2010年的年利润比2009年有所增加，当且仅当y＞1.2－1×100000＜x＜1，即－800x2＋600x＞0，0＜x＜1，解得0＜x＜34.11．渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率5的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值)．(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)求鱼群的年增长量达到最大值时k的取值范围．【解析方法代码108001022】解析：(1)由题意，空闲率为1－xm，所以y＝kx1－xm，定义域为(0，m)．(2)由(1)得y＝kx1－xm＝－kmx－m22＋km4，因为x∈(0，m)，k＞0，所以当x＝m2时，ymax＝km4.(3)由题意有0＜x＋y＜m，即0＜m2＋km4＜m.因为m＞0，解得－2＜k＜2，又k＞0，故k的取值范围为(0,2)．12．(2010·深圳模拟)某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5千美元～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销量，单位：升)，用哪个模拟函数来描述人均A饮料销量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由．①y＝ax2＋bx，②y＝kx＋b，③y＝logax＋b，④y＝ax＋b.(2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2升；若人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5升，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？(3)因为A饮料在B国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件的影响，A饮料在人均GDP低于3千美元和高于6千美元的地区销量下降5%，其它地区的销量下降10%，根据(2)所求出的模拟函数，求出各个地区中，年人均A饮料的销量最多是多少？解析：(1)用函数y＝ax2＋bx来描述A饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适．因为函数y＝kx＋b，y＝logax＋b，y＝ax＋b在其定义域内都是单调函数，不具备先递增后递减的特征．6(2)依题意知，函数过点(1,2)和(4,5)，则有a＋b＝216a＋4b＝5，解得a＝－14b＝94，∴y＝－14x2＋94x(0.5≤x≤8)，∵y＝－14x2＋94x＝－14x－922＋8116≤8116，∴在各地区中，当x＝92时，年人均A饮料销量最多是8116升．(3)依题意知当x∈[0.5,3]或x∈(6,8]时，y＝0.95×－14x2＋94x，∵函数在[0.5,3)上为增函数，∴y＜0.95×－94＋274＝17140，∵函数在(6,8]上为减函数，∴y＜0.95×－364＋544＝17140，当x∈[3,6]时，y＝0.9·－14x－922＋8116≤729160，∵17140＜729160，∴在各地区中，当x＝92时，年人均A饮料销量最多为729160升．