《二次根式》期末复习知识清单及典型例题

二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如0aa的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a才有意义．【例1】下列各式511，52，232x，44，2315，a16，1272aa其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、aB、10C、1aD、21a2、在a、2ab、1x、21x、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x有意义，则x的取值范围是．[来源:学*科*网Z*X*X*K]变式：1、使代数式43xx有意义的x的取值范围是（）A、x3B、x≥3C、x4D、x≥3且x≠42、如果代数式mnm1有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、使代数式221xx有意义的x的取值范围是【例3】若y=5x+x5+2009，则x+y=变式：1、若11xx2()xy，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．32、当a取什么值时，代数式112a取值最小，并求出这个最小值。【例4】已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求12ab的值。变式：1、若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3。2、若17的整数部分为x，小数部分为y，求yx12的值.知识点2：2、双重非负性：aa()0是一个非负数．即①0a；②0a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()aaa20；（2）aaaaaa200||()()．公式aaaaaa200||()()与()()aaa20的区别与联系：（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和()a2的运算结果都是非负的．【例5】若04322cba则cba=．变式:若1ba与42ba互为相反数，则2017ba=。【例6】化简：21(3)aa的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4变式：1、在实数范围内分解因式:23x=；4244mm=429__________,222__________xxx【例7】已知2x,则化简244xx的结果是（）A、2xB、2xC、2xD、2x变式：1、根式2(3)的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a0，那么│2a－2a│可化简为（）A．－aB．aC．－3aD．3a3、若32a，则2223aa等于（）A.52aB.12aC.25aD.21a4、当a＜l且a≠0时，化简aaaa221＝．【例8】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+2()ab的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a【例9】化简21816xxx的结果是2x-5，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1变式：若代数式22(2)(4)aa的值是常数2，则a的取值范围是（）obaＡ．4a≥Ｂ．2a≤Ｃ．24a≤≤Ｄ．2a或4a【例10】如果11a2aa2，那么a的取值范围是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1变式：如果2693aaa成立，那么实数a的取值范围是（）.0.3;.3;.3AaBaCaDa【例11】化简二次根式22aaa的结果是()A.2aB.2aC.2aD.2a变式：1、把二次根式aa1化简，正确的结果是（）A.aB.aC.aD.a2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，xxb＝；aa11)1(＝。知识点3：4、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号．5、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【例12】在根式1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)变式：1、)ba(17,54,b40,212,30,a45222中的最简二次根式是。2、下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）A．7B．3C．12D．23、下列根式不是最简二次根式的是()A.21aB.21xC.24bD.0.1y【例13】下列根式中能与3是合并的是()A.8B.27C.25D.21变式：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、318和B、133和C、22abab和D、11aa和2、在二次根式：①12；②32；③32；④27中，能与3合并的二次根式是。知识点4：6、分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用aaa来确定，如：aa与，abab与，ba与ba等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axbyaxby与分别互为有理化因式。分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【例14】把下列各式分母有理化（1）148（2）4337（3）221（4）5353变式：1、把下列各式分母有理化（1）328xxy（2）2ab（3）333223变式：2、已知2323x，2323y，求下列各式的值：（1）xyxy（2）223xxyy知识点5：7、积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab=a·b（a≥0，b≥0）8、二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a·b＝ab．（a≥0，b≥0）9、商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab（a≥0，b0）10、二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a≥0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【例15】化简(1)916(2)1525(3)12×632变式：计算（1）（2）（3）（4）【例16】能使等式22xxxx成立的的x的取值范围是（）A、2xB、0xC、02xD、无解知识点6：二次根式的加减：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。【例17】计算（1）11327520.53227；（2）abbaabb3)23(235；（3）132xy·（-42yx）÷162xy（4）673)32272(知识点八：根式比较大小1、根式变形法当0,0ab时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。2、平方法当0,0ab时，①如果22ab，则ab；②如果22ab，则ab。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0abab；②0abab8、求商比较法它运用如下性质：当a0，b0时，则：①1aabb；②1aabb【例18】比较35与53的大小.变式：比较231与121的大小.