第一章一些典型方程和定解条件的推导

第一章一些典型方程和定解条件的推导§1.1基本方程的建立例1弦的振动1、问题的提法给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振动，研究弦上各点的运动规律。2、方程的推导基本假设：（1）弦是均匀的。弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。（3）弦是柔软的。它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。由上述假定推导振动方程。先讨论不受外力作用时弦的振动。由Newton第二定律，知作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度于是，在每一个时间段内作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。图1.1弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分之一。跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦。把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴(图1.1)，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u必随时间t而变，即u又依赖于t。这样，横向位移u是x和t的函数。用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。当t固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。把弦细分为许多极小的小段。拿区间（x，x+dx）上的小段B为代表加以研究。B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C的拉力T1和T2。弦的每小段都没有纵向（即x方向)的运动，所以作用于B的纵向合力应为零，2211coscos0TT（1.1）按照弦作微小振动的假设，可知振动过程总弦上x点与x+dx处切线的倾角都很小，即α1≈0，α2≈0，从而由24cos12!4!可知，当我们略去α1与α2所有高于一次方的各项时，就有12cos1,cos1带入（1.1）式，便可近似得到12TT。在u方向弧段B受力的总和为T2sinα2-T1sinα1-ρgds，其中-ρgds是弧段B的重力。又因当α1≈0，α2≈0时11121222222tan(,)sintan1tantan(,)sintan1tan(,)1[]uxtxuxdxtxuxtdsdxdxx且小弧段B在时刻t沿u方向运动的加速度近似为22(,)uxtt，小弧段的质量为ρgds，所以根据F＝ma写出B的横向运动方程2212(,)sinsinuxtTTgdsdst或22(,)(,)(,)[]uxdxtuxtuxtTgdxdxxxt（1.2）上式左边括号内的部分是由于x产生dx的变化而引起的(,)uxtx的改变量，可用微分近似代替，即22(,)(,)(,)(,)[]uxdxtuxtuxtuxtdxdxxxxxx于是2222(,)(,)[]uxtuxtTgdxdxxt或2222(,)(,)Tuxtuxtgxt一般说来，张力较大时振动速度变化很快，即22(,)uxtt要比g大很多，所以又可以把g略去（或跟张力相比，弦的重量完全可以略去。这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦）。略去次要的量，抓住主要的量，在u(x,t)关于x，t都是二次连续可微的前提下，最后得出u(x,t)应近似满足方程22222(,)(,)uxtuxtatx（1.3）其中2Ta。（1.3）式称为一维波动方程。如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，显然，在这时（1.1）及（1.2）分别为2211coscos0TT2212(,)sinsinuxtFdsTTgdsdst利用上面的方法并略去弦本身的重量，可得弦的强迫振动方程为22222(,)(,)(,)uxtuxtafxttx（1.3）′其中1(,)(,)fxtFxt，表示时刻t单位质量得弦在x点处所受的外力密度。方程（1.3）与（1.3）′得差别在于（1.3）′的右端多了一个与未知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。包括非零自由项得方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程。（1.3）称为齐次一维波动方程，（1.3）′称为非其次一维波动方程。例2传输线方程1、问题的提法对于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还没有高到能量显著地辐射电磁波的情况），电路中导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。2、方程的推导今来考虑一来一往高频传输线，它被当作具有分布参数的导体（图1.2）我们来研究这种导体内电流流动的规律。在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i与电压v来描述，此处i与v都是x，t的函数，记作i（x，t）与v（x，t）。以R，L，C，G分别表示下列参数：R——每一回路单位的串联电阻；L——每一回路单位的串联电感；C——每单位长度的分路电容；G——每单位长度的分路电导。根据基尔霍夫第二定律，在长度为△x的传输线中，电压降应等于电动势之和，即()ivvvRxiLxt由此得viRiLxt（1.4）另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即()viiiCxGxvt或ivCGvxt（1.5）将方程（1.4）与（1.5）合并，即得i，v应满足如下方程组00ivCGvxtviLRixt从这个方程组消去v（或i），即可得到i（或v）所满足得方程。例如，为了消去v，我们将方程（1.5）对x微分（假定v与i对x，t都是二次连续可微得），同时在方程（1.4）两端乘以C后再对t微分，并把两个结果相减，即得22220iviiGLCRCxxtt将（1.4）中的vx代入上式，得2222()iiiLCRCGLGRixtt（1.6）这就是电流i满足得微分方程。采用类似得方法从（1.4）与（1.5）中消去i可得电压v满足得方程2222()vvvLCRCGLGRvxtt（1.7）方程（1.6）或（1.7）称为传输线方程（电报方程）。根据不同的具体情况，对参数R，L，C，G作不同得假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计。也就是说可令G=R=0,此时方程（1.6）与（1.7）可简化为22221iitLCx22221vvtLCx这两个方程称为高频传输线方程。若令21aLC，这两个方程与（1.3）完全相同。由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。例3电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特性可以用电场强度E与磁场强度H以及电感应强度D与磁感应强度B来描述。联系这些量的Maxwell方程为tDrotHJ（1.8）tBrotE（1.9）0divB（1.10）divD（1.11）其中J为传导电流的面密度，ρ为电荷的体密度。这组方程还必须与下述场的物质方程DE（1.12）BH（1.13）JE（1.14）相联立。其中ε是介质的介电常数，μ是导磁率，σ为导电率，我们假定介质是均匀而且各向同性的，此时ε、μ、σ均为常数。方程（1.8）与（1.9）都同时包含有E与H，从中消去一个变量，就可以得到关于另一个变量的微分方程。例如先消去H，在（1.8）式两端求旋度（假定E、H都是二次连续可微的）并利用（1.12）与（1.14）得trotrotHrotErotE将（1.9）与（1.13）代入上式得22ttHHrotrotH而2divrotrotHgradHH，且10divdivHB，所以最后得到H所满足得方程为222ttHHH同理，若消去H即得E所满足得方程222ttEEE如果介质不导电（σ＝0），则上面两个方程简化为2221tHH（1.15）2221tEE（1.16）（1.15）与（1.16）称为三维波动方程。若将三维波动方程以标量得形式表示出来，则可写成22222222222()uuuuauatxyz（1.17）其中21a，u是E（或H）得任意一个分量。从方程（1.11）与（1.12）还可以推导处静电场得电位所满足得微分方程。事实上，以（1.12）代入（1.11）得divdivdivDEE，而电场强度E与电位u之间存在关系uEgrad，所以可得divugrad或2u（1.18）这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程。如果静电场是无源得，即ρ＝0，则（1.18）变成20u（1.19）这个方程称为拉普拉斯（Laplace）方程。例4热传导方程一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。由于热量的传导过程总是表现为温度随时间和点的位置变化，所以解决热传导问题都要归结为求物体内温度的分布，现在我们来推导均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程。与例1类似，我们不是先讨论一点处的温度，而应该考虑一个区域的温度。为此，在物体内任取一闭曲面S，它所包围的区域记作V（图1.3）。假定在时刻t区域V内点M（x，y，z）处的温度为u（x，y，z，t），n为曲面元素△S的法向（从V内指向V外）。由传热学中Fouier实验定律可知，物体在无穷小时间段dt内，流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt，曲面面积dS，以及物体温度u沿曲面dS的法线方向的方向导数un三者成正比，即()nudQkdSdtkudSdtkuddtngradgradS其中k＝k（x，y，z）称为物体的热传导系数，当物体为均匀且各向同性的导热体时，k为常数。上式中的负号是由于热量的流向和温度的梯度的正向，即gradu的方向相反而产生。这就是说，当(0)uungradn时，物体的温度沿n的方向增加（减少），而热流方向却与此相反，故沿n的方向通过曲面的热量应该时负（正）的。利用上面的关系，从时刻t1到时刻t2通过曲面S流入区域V的全部热量为211[]ttSQkuddtgradS流入的热量使V内各点的温度从u（x，y，z，t1）变化到u（x，y，z，t2），则在[t1,t2]内V内温度升高所需的热量为21[(,,,)(,,,)]VcuxyztuxyztdV其中c为物体的比热，ρ为物体的密度，对均匀且各向同性的物体来说，它们都是常数。由于热量守恒，流入的热量等于物体温度升高所需吸收的热量，即2121[][(,,,)(,,,)]ttSVkuddtcuxyztuxyztdVgradS（1.20）此式左端的曲面积分中S是闭曲面，假设函数u关于x，y，z具有二阶连续偏导数，关于t具有一阶连续偏导数，可以利用高斯（Guass）公式将它化为三重积分，即2SVVkudkdivudVkudVgradSgrad同时，（1.20）的右端的体积分可