第一章一元函数极限(定理)

第一章一元函数极限§1.1函数一、有界函数定义：设函数)(xf在数集A有定义，若函数值的集合AxxfAf|)()(有上界（有下界、有界），即MxfMxfMxfAxM)(,)(()(,,0，则称函数)(xf在A有上界（有下界、有界）。二、奇函数、偶函数定义：函数)(xf定义在数集A，若Ax，有Ax且)()()(()(xfxfxfxf，则称)(xf为偶函数（奇函数）。奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称。三、周期函数§1.2用定义证明极限的存在性一、用定义证明极限二、定义：aaNnNNaannn,,,0lim；三、定理1）)(limxfax存在)(limxfax与)(limxfax都存在，且)(limxfax)(limxfax；2）)(limxfx存在)(limxfx与)(limxfx都存在，且)(limxfx)(limxfx；3）)()()(limxBxfBxfax，其中0)(limxax；4）无穷小与有界函数的积为无穷小；5）有限个无穷小的和或积为无穷小；收敛数列的性质1）唯一性：若数列na收敛，则它的极限是唯一的。2）有界性：若数列na收敛，则数列na有界，即MaNnMn,,0。3）保序性：若aannlim与bbnnlim，且ba，则nnbaNnNN,,。推论：若aannlim与bbnnlim，且)(,,nnnnbabaNnNN，则ba。函数极限的性质1）唯一性：若)(xf在a（）收敛，则它的极限是唯一的。2）局部有界性：①若bxfax)(lim，则axxM0:,0,0，有Mxf)(。②若bxfx)(lim，则AxxAM:,0,0，有Mxf)(。3）保序性：若bxfax)(lim与cxgax)(lim，且cb，则axx0:,0，有)()(xgxf。推论：若bxfax)(lim与cxgax)(lim，且axx0:,0，有)()(xgxf（)()(xgxf）则cb。（其它极限形式，可类似给出）二、用Cauchy准则证明极限1）数列na收敛npnaaNpNnNN,,,0。2）极限)(limxfax存在xaxx0:,,0,0与xa0，有)()(xfxf3）极限)(limxfx存在AxxxA:,,0,0与Ax，有)()(xfxf三、否定形式四、利用单调有界原理证明极限存在单调有界原理：1、数列nx单调增加，有上界nnnnxxsuplim存在且；2、数列nx单调减少，有下界nnnnxxinflim存在且；注：单调不必是严格的；对函数极限有类似结论。五、数列与子列、函数与数列的极限关系1、数列与子列的极限关系knnnxAx子列lim有AxknklimAxxnnnn212limlim2、函数与数列的极限关系（海涅定理）),2,1,()(lim1naxxAxfnnnax：若axnnlim，则有Axfnn)(lim推论1：若存在某个数列aaann,，且aannlim，而它的函数值数列)(naf不存在极限，则函数)(xf在a也不存在极限。推论2：若存在两个数列na与nb，,aanaannlim与,abnabnnlim，且cafnn)(lim与dbfnn)(lim，而dc，则函数)(xf在a也不存在极限。六、极限的运算性质①数列极限的四则运算：以数列为例，若nnxlim与nnylim都存在，则有nnnnnnnyxyxlimlimlim、nnnnnnnyxyxlimlimlim、nnnnnnnyxyxlimlimlim（分母不为零）②若0)(limxfax，则)(1limxfax。③函数极限的四则运算：若函数)(xf与)(xg在a都收敛，则函数)()(xgxf，)()(xgxf，)0)(()()(xgxgxf也收敛，且1）)()(limxgxfax)(lim)(limxgxfaxax；2）)()(limxgxfax)(lim)(limxgxfaxax；3）)(lim)(lim)()(limxgxfxgxfaxaxax，其中0)(limxgax。（其它极限形式有类似的结论）④复合函数极限：设有复合函数)]([xgf，若1）bxgax)(lim；2）)(0aUx，有)()(0bUxgu；3）Aufbu)(lim。则Axgfax)]([lim。注：若f连续，则)()]([limbfxgfax；若f与g都连续，则)]([)]([limagfxgfax。§1.3求极限限的若干方法一、利用等价代换无穷小的比较：1）设0)(,0)(lim)(limxgxgxfaxax，若bxgxfax)()(lim，Ⅰ、0b时，称)(xf与)(xg是ax时的同阶无穷小；特别地，1b时，称)(xf与)(xg是ax时的等价无穷小，记为))((~)(axxgxf；Ⅱ、0b，称)(xf是)(xg当ax时的高阶无穷小，记为)))((()(axxgoxf；（其它极限形式类似）2）设,0)(lim0bxxfx是正常数，称)(xf是关于x的阶无穷小。结论：设0)(,0)(,0)(lim)(lim)(lim)(limxxgxxgxxfaxaxaxax，且当ax时，),(~)(),(~)(xxgxxf)()(limxxax存在，则)()(lim)()()()()()(lim)()(limxxxgxxxxxfxgxfaxaxax因此，表达式中因子可用等价因子代替，极限不变，常用等价无穷小有：当0x时，1~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin~xexxxxxx，221~cos1,~1)1(,ln~1xxbxxaxabx；二、利用已知极限以极限exxx)1(lim0为例进行说明1、若cxgbxfxfaxax)(lim,)(lim,0)(，则cbcxfxgxfxgaxxgaxbeeexfaxln)(ln)(lim)(ln)()(lim)(lim；2、若axgxfxgxfaxaxax)()(lim,)(lim,0)(lim，则axgxfxfaxxgaxexfxf)()()(1)())(1(lim))(1(lim三、利用变量替换求极限为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量。四、两边夹法则1）设nnncba,,是三个数列，若NnNN,有nnncba，且lcannnnlimlim，则lbnnlim。注：缩放适度，使前后极限相同。五、求极限的其它方法1、L’Hospital（洛必达法则）1）使用前检查类型；2）洛必达法则只是充分条件，使用后算不出结果，不等于极限不存在；例：xxxxxcossinlim。3）型的洛必达法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子不趋向没有关系。2、利用Taylor公式求极限常用的初等函数的麦克劳林公式：1）10,)!1(!!2!1112xnnxenxnxxxe；2）10,cos)!12()1()!12()1(!3sin121213xkxkxxxxkkkk；3）10,cos)!22()1()!2()1(!21cos22122xkxkxxxkkkk；4）)()1(2)1ln(12nnnxonxxxx；5）)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnxoxnnxxx。3、利用积分定义求极限例1、)12111(limnnnnn；（中国科学院，中国科技大学等）解：2ln11111lim)12111(lim101dxxnknnnnnnknn，4、利用级数求解问题利用收敛级数的一般项趋向于零；5、利用连续性求极限6、综合性例题§1.6实数及其基本定理一、闭区间套定理设有闭区间列],[nnba，若1）],[],[],[2211nnbababa；2）0)(limnnnab；则存在唯一实数l属于所有的闭区间，且labnnnnlimlim。二、确界定理定义：设E是非空数集，若R，且1）Ex，有x；2）Ex0,0，有0x；则称是数集E的上确界，记为Esup（supremun的缩写）定义：设E是非空数集，若R，且1）Ex，有x；2）Ex0,0，有0x；则称是数集E的下确界，记为Einf（infimum的缩写）定理（确界定理）若非空数集E有上界（下界），则数集E存在唯一的上确界（下确界）。三、有限覆盖定理设I是一个区间（或开或闭），并有开区间集S，若SIx,有x，则称开区间集S覆盖区间I。定理：若开区间集S覆盖闭区间],[ba，则S中存在有限个开区间也覆盖了闭区间],[ba。四、聚点定理定义：设E是数轴上的无限点集，是数轴上的一个定点。若0，),(U都含有E的无限多个点，则称是E的聚点。是E的聚点Ex,0，有),(0Ux。聚点定理：数轴上有界无限点集E至少有一个聚点。五、致密性定理有界数列na必有收敛的子数列kna。六、柯西收敛准则数列na收敛NmnNN,,,0，有mnaa。