第一章书稿样稿

1《初等数学应用与建模》温州大学数学与信息科学学院黄忠裕第一章数学应用与建模概述第一节数学应用认知一数学应用促进数学发展二数学是一切科学的得力助手三数学应用是推动社会发展的加速器四应公正地看待“数学应用”第二节数学模型和数学建模一数学模型认知1．数学模型界定2．数学模型特征3．数学模型分类二数学模型构建的一般过程1．建立数学模型的一般步骤2．构建数学模型的具体要求第三节数学应用题、数学建模和数学模型方法一数学建模与数学应用题二数学模型方法三对本课程的学习建议思考与练习题一2第一章数学应用与建模概述【本章提要】数学具有广泛的应用，数学建模是数学应用的必由之路。要体会数学的广泛应用，应对数学应用的作用有所认知，深入了解数学模型和数学建模的内涵，理清数学应用与数学建模的关系，认识数学模型方法。通过本章学习，应该达到如下学习目标：了解数学应用的内涵，认识数学多方面的应用价值；理解数学模型和数学建模的内涵，初步掌握数学模型构建的一般过程；了解数学应用题与数学建模的区别与联系，理解数学模型方法及其应用。第一节数学应用认知“横看成岭侧成峰,远近高低各不同，不识庐山真面目,只缘身在此山中”,“数学应用”的含义非常广泛,站在数学圈内谈数学应用,也许是挂一漏万。“数学应用”可表示为美学的、哲学的、历史的、心理的、教育的、商业的、科学的、技术的和数学本身等诸多方面。美国数学哲学家J.戴维斯与R.赫什在其名著《数学经验》中关于“数学之用”有一段很精彩的表白,现将其摘录如下:老学究说:数学的有用在于教给我们如何精确地思考和推理。建筑师或雕塑家说:数学的有用在于导致对视觉美的理解和创造。哲学家说:数学的有用在于使人们能够回避日常的现实生活。数学教师说:数学的有用在于为他提供面包和黄油。出版商说:数学的有用在于使他能卖出很多教科书。天文学家和物理学家说:数学的有用在于它是科学的语言。土木工程师说:数学使他能高效率地建造桥梁。数学家说:数学的有用在数学内部，一部分数学的有用在于它能应用于另一部分数学。我国著名数学家姜伯驹院士谈数学的作用时说：“今日数学已从社会的幕后走向前台，它正突破传统的应用范围向几乎所有的人类的知识领域渗透，并且越来越直接地为人类物质生产和日常生活做出贡献。数学用好了，你就赢了。”从姜先生的话中,我们可以看到，人类的一切活动都离不开数学应用，数学的3作用将显得越来越重要。从广义的角度看,数学学习、数学研究与数学教学都是数学应用。以下我们将从几个不同的侧面谈论关于数学应用的感性认识。一数学应用促进数学发展辩证唯物主义认为，人的实践的需要是一切科学包括数学发展的根本动力，由实践发展所推动的其他科学发展的需要则是数学发展的重要动力。这两种动力对数学的促进作用就表现为数学应用对数学发展的作用。从数学发展史中，我们可以看到，古埃及人是在测量土地的应用中产生了几何学；古代中国人是在天文历法及社会生活各个领域中应用数学促使中国古代数学取得一系列重要成就；牛顿是把数学应用于力学时创立了微积分学；18-19世纪分析数学的大发展也是得益于数学在近代科学中的应用；统计数学起源于数学在人口调查、随机游戏和科学方法论中的应用；运筹学则产生于第二次世界大战时数学在战争中的应用，现代数学中的许多分支诸如模糊数学、实变论、分形数学、小波分析、编码理论等等都是在实际应用中发展起来的。以下举两个例子较详细给予说明：例1微积分的产生。人们普遍认为，微积分的创立，首先是为了处理17世纪主要的科学问题，即在数学应用于科学中实现的。当时科学中碰到的首要问题是力学中的运动问题：已知物体的运动距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的瞬时速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数公式，求距离和速度。这类问题是力学中研究运动时直接出现的（它们与人的实践有着重要的联系）。此时遇到的是一种缺少有效的数学工具——概念、理论和方法的困难。由于处理这一类关于运动的问题是力学研究以及解决与之有关的实践问题（机械、武器设计等）的急切的需要，这种急切的需要促使人们把克服上述困难——寻找、创立新的数学工具，作为自己的任务。对这类问题进行深入研究的过程中，人们提出了计算一个变量对另一个变量的变化率的问题及其逆问题，这就产生了新的数学问题。人们在研究这类数学问题的过程及由其另类科学问题（光线通过透镜的折射和反射问题；求炮弹的最大射程而得到最大射程的最优发射角问题，行星的近日点、远日点问题；求重心、体积、面积等问题）促使人们所提出的数学问题（求4切线的问题；求函数的极值问题；求曲线长的问题）的研究过程中，创立了微积分学。例2统计数学的建立。人们认为，统计思想产生于以下三方面的实践中，即在下述的三个方面活动的数学应用中产生了统计数学：①人口调查；②随机游戏（如赌博）；③科学方法论。在这三方面活动中，人们必须应用数学工具，也都遇到了原来的数学工具——数学理论和数学方法不够用的困难。例如调查的可靠性问题、抽样方法问题、误差的问题、人口分布的问题、赌博的分点问题等各种具有不确定性的随机问题；科学方法论中科学实验数据的处理问题；观察误差的分析问题等。由于这三方面都涉及到人们直接的功利，所以具有克服困难解决这些问题的急切的需要，于是人们进入问题情境，提出相应的数学问题并进行研究，统计数学就产生了。二数学是一切科学的得力助手美国数学家裴尔斯曾经说:“数学不是规律的发现者,因为它不是归纳。数学也不是理论的缔造者,因为它不是假说。但数学却是规律和理论的裁判和主宰者,因为规律和理论都要向数学表明自己的主张,然后等待数学的裁判。如果没有数学上的认可,则规律不能起作用,理论也不能进行解释。”从他的话中我们可以看到,一切科学的命运实际上都是由数学决定的。我国著名数学家华罗庚先生说:“数学是一切科学的得力助手,人们掌握了数学才能进入科学的大门。”科学发展到今日,已以无可辩驳的事实表明,科学数学化是大势所趋,数学作为各门科学(包括自然科学、社会科学、思维科学、经济科学、管理科学、军事科学等等)的工具,越来越受到各门学科的仰慕,任何一门科学都盼望自己的最终表达方式是数学的,即科学的终极目标几乎都是希望能用数学的语言来表述自己。邓小平说过“科学技术是第一生产力”。科学技术的基础是应用科学,应用科学的基础是数学,现代科学技术的发展和应用,无一不用到计算机,计算机之所以能够工作,靠的是计算机软件。从本质上看,任何计算机软件都是某种数学方法的具体应用,软件水平的高低完全取决于数学方法水平的高低,数学与计算机加在一起5正是如虎添翼。“没有强大的数学,就没有强大的科学技术;没有强大的科学技术,就没有国家的繁荣与昌盛”,“数学是科学与技术的基础，没有强有力的数学就不能有强有力的科学。”这是当今科技界的共识。不知不觉地让我们想起拿破仑早年的论述“数学的发展与至善和国家的繁荣昌盛密切相关”，“一个国家只有数学发展，才能表现出它的国力强大。”是何等地英明!数学与相关技术结合而形成的相关领域的所谓高新技术,诸如微处理机芯片的设计、通讯中的高效自动系统的设计、小波分析对图像压缩技术的应用、CAT扫描机的设计等等,无不证实美国20世纪70年代总统顾问David的名言“高科技本质是数学技术”是何等的有见地。以下我们举几个具体的例子予以说明：例3非欧几何帮助爱因斯坦建立相对论。非欧几何在19世纪出现以后，虽然一些有远见的数学家预言它们会有用，但长期以来人们应用欧式几何的传统习惯，使大多数人对非欧几何敬而远之、束之高阁。直到爱因斯坦创立广义相对论，这种局面才有了根本的改观。据说爱因斯坦用了几年时间构思出一个理论框架,最基本的思想是把引力看作空间的曲率,但是令他十分苦恼的是他无法表达清楚他的思想,他求助他最好的朋友、数学家格罗斯曼,“亲爱的朋友,你必须帮助我,否则我会发疯的”。格罗斯曼建议他去学一下非欧几里德几何学,即黎曼、高斯、罗巴切夫斯基等创立的不同形式的非欧几里德几何学。爱因斯坦如释重负,找到了表达他的理论的语言,建立起了现代物理学基本理论:相对论和广义相对论。广义相对论不像当时的非欧几何那样难以触摸，它是对大范围客观世界的描述，可以用试验和观察去检验。水星的“运动”和光线在大质量物体附近的“弯曲”两个事实，证明了广义相对论是正确的。例4群论帮助温伯格建立统一守恒定律。中学数学老师和中学生非常熟悉的一元二次方程的理论核心是方程的根可以用方程的系数表示出来,而且还可以推得一元三次方程和四次方程也具有同样的性质。19世纪早期的天才数学家伽罗华为了研究高次方程是否存在用系数表示根的公式时,创造了他的“群”论,并用之解决了长期困惑人们的代数学的基本问6题(高于五次的代数方程没有统一的求根公式)。事隔一百多年,当诺贝尔物理奖获得者温伯格(S.Weinberg)等物理学家读到群论时,他们吃惊地发现这正是他们所需要用于统一能量守恒定律、动量宁恒定律、自旋守恒定律、电荷守恒定律……的工具(语言),这些定律反映了我们周围世界的优美的对称性，这个“不可思议的巧合”获得了诺贝尔奖。这样，群论也就成为了认识晶体结构的基本方法，以至成为研究量子论的基本工具。例5积分方程帮助柯马克发明扫描仪。在现代医学史上,有两项重大技术突破:一是CAT扫描,一是核磁共脤MRI(分辨率更高)。这两项技术使医疗诊断水平有了本质变化,而这两项最尖端的医学技术的原理是数学中经常使用的Radon变换。这种扫描技术,不仅在医学,而且在海洋学、地质学、天文学、石油勘探等等中都发挥了巨大作用和经济效益。1958年,天文学家用此描述一张月球亮度分布图。这项发明是几十年前,由一名为柯马克(A.M.Cormack)的工程师完成的。这项工作使得他在1979年获诺贝尔医学奖。三数学应用是推动社会发展的加速器数学家R.C.Buck曾经说:“数学既不严峻，也不遥远，它既和几乎所有的人类活动有关，又对每个真心感兴趣的人有益。”这就是说，人人都与数学有关。实际上，在生活、生产中,在社会活动的各个领域里,都在运用着数学的概念、法则和结论。首先，在日常生活中，我们无论怎样强调逻辑性和合理性思考的重要性都不过分。如果说“所有的面包都可口”后又马上说“奶油面包不可口”的话，那将是多么荒唐的事？对于主张“所有的高中生都考入大学”的人来说，不上大学的高中生的存在就是对他们最好的反驳，而这正体现了数学逻辑的基本作用。法国数学家拉普拉斯有一句名言：“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题”。著名统计学家詹纳士认为概率论是“科学的逻辑”。著名经济学家萨缪尔森认为：要想成为现代社会中有文化的人，必须对博弈论有大致的了解。例6“三个快枪手决斗”模型。博弈论中有一个著名的“三个快枪手决斗”模型。甲、乙、丙三人同时开枪进行决斗，幸存者进入下一轮决斗。如果他们的命中率分别是0.9,0.8和0.5，则他7们的最优策略是甲、乙互射，丙对准甲射击。结果是相对较弱的乙和丙结成了“暂时联盟”。三国时期的孙权和刘备就是结成了暂时联盟对付曹操的。通过概率计算，甲、乙、丙经过两轮决斗后幸存下来的概率分别是4.5%,5%,90.5%。当然，这一模型是理想化的数学模型，但它给了我们很好的启示：弱者往往能在强者竞争的夹缝中生存下来，只要他讲究一些策略。其次，我们在日常生活中习惯于寻找规律，按规律办事。例如，我们利用数列来推测日期，利用数列计算交纳给银行的住房分期付款，不仅仅在这种具体事项上，数学是绝对需要的，而且在计算诸如人口数量和能源量等方面，数学也是必不可少的。另外，在日常生活中，常常要计算出体积时，才能够防止常识性的错误发生。例如，卫生卷纸用完3/4时，卷纸的厚度看起来还好像只少了一半，这里我们所看到的只是假象，只有数学才能帮助我们认识到真实的一面，才不会被表面现象所迷惑。然后，衣食住行,三百六十行,几乎没有一行不和数学有关。量体裁衣需要数学帮助计算用料,度量尺寸;建筑楼宇房舍时,都要丈量土地,设计图纸,需要数学;交通发展中,从野外勘测,航线或路线选定,到道路建设,交通网络,没有一项可以少得了数学。如果把数学对社会的文化和思想环境的作用累加起