15-VaR度量与事后检验[金融计算与建模]

VaR度量与事后检验清华大学经管学院朱世武[e-mail]样本数据：论坛：风险值（VaR）概念风险值概念指在一段时期内，一定置信水平下，当市场发生最坏状况时，投资组合的最大可能损失金额。在正常市场条件下，对于给定的置信水平(或比率)，其对应的临界值(或分位数)即为该项金融资产或投资组合在统计上的最大可能损失金额，称为风险值(VaR)。是最坏情况发生的概率。设定最坏情况发生的概率越小，VaR就越大。VaR值是一个与其置信水平有关的相对概念。1%%风险值的评估期间通常为一天，而置信水平为95%，评估期间的长度与风险值的大小有密切的关系，通常来说，评估期间越长，风险值就越大。风险值VaR概念的图形描述相对于传统上用波动性指标（如方差或标准差）衡量风险的标准，风险值有三项特点：第一，风险值以资产的收益金额为风险衡量指标，较以往风险估计值更清楚明白地表达投资人所面临的风险；第二，风险值标准引入了置信水平的概念，而传统标准只是一个点估计值（pointestimator）；第三，对于包含多种类型资产（如股票，期货，期权，……）的投资组合，可以直接测算出投资组合的风险值。VaR度量方法比较VaR度量方法的实现步骤协方差矩阵法协方差矩阵法度量风险值（VaR）的前提条件是假设风险因子的变化服从多元正态分布，而真正要估计就是波动率（方差）和相关系数。在正态分布的假设下，风险值存在公式解，可轻易比较不同评估期间与不同置信水平下风险值的高低。统计上用的是参数估计技术。不同情形下有两类方法：直接估算法和逼近法。直接估算法：在投资组合为风险因子的线性函数、且风险因子的变化服从多元正态分布的条件下（如，投资组合收益率服从多元正态），可以直接估算出投资组合的风险值。单一资产情形时，只要估计资产收益率的方差，投资组合情形下，就要估计和分解资产收益率之间的协方差矩阵。逼近法：在投资组合与其包含的风险资产因子为非线性关系时，如著名的Black-Scholes（1973）期权定价公式描述的期权价格与其标的物价格之间的关系等。就可以利用Taylor展开式来近似这种非线性函数关系，并利用Taylor展开式来估算风险值。一阶Taylor展开为Delta-Normal逼近法；二阶Taylor展开为Delta-Gamma逼近法。用协方差矩阵法度量风险值（VaR）时，关键是要估计方差或估计和分解资产收益率之间的协方差阵。也就是说估算风险值首先是要估算资产收益的波动性。表15.2协方差矩阵法度量风险值（VaR）公式习题1：证明表15.2中所有公式。历史模拟法历史模拟法的基本假设是资产收益的过去变化状况会在未来完全重现。历史模拟法利用过去一段时间资产收益资料，估算投资组合变化的的统计分布（经验分布），再根据不同的分位数求得相对应的置信水平的风险值。为了提高历史模拟法的估算精度，还可以用一些修正方法，如指数加权移动平均法、自助法（bootstrap）和核估计法(Kerneldensityfunction)。历史模拟法的一种具体实施过程假设投资组合包含m项资产，由过去N+1天的历史收益资料，得到：其中：为第i项资产在时间t的收益（）；为第i项资产在t=0时的投资权重①。将历史收益值由小到大排序，并给出经验分布函数，由此就可以估算不同置信水平下的VaR值。例如，收益经验分布由1000笔收益数据的频率构成，则在置信水平为95%的条件下，应选取从小到大排序的第51笔收益金额为VaR值的估计，即收益经验分布的第5%分位数。①应为计算风险值时期的权重，这里假设计算t=0时期的风险值。NtVwVmiitiPt,...,2,1,1itVNtmi,...,2,1;,...,2,1NtPtV,...,2,1iw蒙特卡罗模拟法蒙特卡罗模拟法（MonteCarloSimulation,MCS）是在一定的统计分布假设下模拟风险因子变化的情境。首先假设资产收益为某一随机过程（process）,并根据所设定的价格变动过程，大量模拟未来各种可能发生的情境，然后将每一情境下投资组合变化值排序，给出投资组合变化的分布，据此就可以估算不同置信水平下的VaR值。实际应用时，对于不同的风险因子有许多的统计分布族可以应用，常用的分布族有：正态，对数正态，GARCH等。一般情况下，蒙特卡罗模拟至少要经过以下三步：1.建立描述风险因子动态演变模型；2.随机模拟误差项；3.求解模型包含风险因子的值。蒙特卡罗模拟法估算风险值过程实例1.建立描述资产价格变动的动态模型，如用几何布朗运动（GeometricBrownianMotion）来描述资产价格在短时间内的变动过程：ttttttdwSdtSdS为价格变动量；为资产收益率（为模型的漂移项drift）；为收益率标准差；为布朗运动。tdStt),0(~dtNdwiidt经简化处理后，得到特定时期(0,T)资产价格变化过程：TtNNtttSSttt,,...,2,1),(于是得到)(1ttSSStttt重复上式N次得到,由此可以模拟整段时间中，每一时点的价格。TNSS其中：2.从标准正态分布N(0,1)中抽取随机数据序列,代入步骤1最后得到的资产价格过程公式，得到一模拟的价格序列且；N,...,,21TNSS3.将步骤2重复K次，得到T时刻K个可能的价格并求得收益分布；KTTTSSS,...,,21NSSS,...,,214.给定置信水平,根据步骤3得到收益分布的分位数可估算出相应的VaR值。1%%以上只给出了单一资产价格变动服从布朗运动条件下，用蒙特卡罗模拟法估算VaR值。实际中还有许多其它情况，所以，应用时要根据具体情况来拟定模拟方案。VaR的事后检验事后检验的原理事后检验的目的，就是看实际观测到的结果与所定义风险度量的置信水平是否一致，如模型中定义了99%置信度下的风险值，那么，就要考察这个风险值是否真的覆盖了真实损失的99%。事后检验一般采用一种移动窗口的方法进行计算。事后检验的两类错误概率第一类错误，使用特定失效天数作为判定模型正确性的标准，拒绝正确模型的概率；第二类错误，使用特定失效天数作为判定模型正确性的标准，接受错误模型的概率。表15.4给出了模型在置信度95%和99%的情况下，发生两类错误的概率。表15.4置信度95％和99％情况下发生一、二类错误的概率（样本总数：250）失效天数置信度95％置信度99％发生的精确概率（%）发生第一类错误概率（%）发生第二类错误概率（%）发生的精确概率（%）发生第一类错误概率（%）发生第二类错误概率（%）00.000100.0000.0008.106100.0000.00010.004100.0000.00020.46991.8948.10620.02399.9960.00425.74271.42528.57530.10199.9730.02721.49545.68354.31740.32999.8720.12813.40724.18875.812…………230.2020.38999.6110.0000.000100.000240.1010.18799.8130.0000.000100.000250.0480.08699.9140.0000.000100.000260.0220.03899.9620.0000.000100.000270.0100.01699.9840.0000.000100.000发生第一类错误的概率：P（损失偏离天数≥给定数据/发生偏离的概率=0.01）发生第二类错误的概率：P（损失偏离天数＜给定数据/发生偏离的概率=0.01）例如，判定标准定为“损失偏离天数=1”，只有损失偏离天数1时模型才被接受，而P(损失偏离天数1)=P(0)，所以发生第一类错误的概率为：1－P(0)=1－8.1059%=91.894%事后检验结果的分区巴塞尔委员会和国际清算银行（BCBS）根据所选定的置信水平将检验结果划分了区域：绿色区域；黄色区域；红色区域。区域损失超出的天数累计发生的概率扩大因子提高的比例绿012348.11%28.58%54.32%75.81%89.22%0.000.000.000.000.00黄5678995.88%98.63%99.60%99.89%99.97%0.400.500.650.750.85红10或者更多99.99%1.00表15.5事后检验结果的分区（样本容量=250,置信水平99%下）例如，5所对应的累积概率为95.88%，表示失效天数小于等于5天的概率是95.88%。累积概率的计算：28.58%（小于等于1天的累积概率）=（“0”发生的概率）+250**（“1”发生的概率）。2500.992490.9910.01单支股票VaR度量本部分实际是计算投资组合的VaR，只是事先计算好投资组合的收益，将组合化成了单支股票的形式。计算环境2004年12月底以前的历史数据，计算2005年第一个交易日的VaR。假设投资总额为100万元，将投资组合看成一个整体，即作为单支股票处理。计算2005年全年交易日的VaR，并作相应的事后检验。计算数据集：ResDat.QTTNDIST。计算步骤第一步：投资组合构建与收益计算；第二步：对2005年投资组合的VaR作相应的事后检验。组合构建与收益计算随机挑选20支2005年以前发行的A股股票，随机赋权重。构建投资组合后，直接求得投资组合的收益数据，将投资组合看成一个整体，即相当于单支股票，计算相应的风险值。算法如图15.3所示。历史模拟法实现程序本部分给出利用历史模拟法计算2005年全部交易日的风险值VaR，计算结果的实际数据分别存储于数据集HIS2401,HIS2405,HIS4801,HIS4805,HIS7201和HIS7205。图15.4给出了本部分程序的结构。历史模拟法Macrocalvar(days,prob,aa)：对于2005年每个交易日，根据其之前days天的历史数据，计算其对应于分位数prob的VaR。Macrobt：事后检验His2401，His2405His4801，His4805His7201，His7205bt图15.4历史模拟法度量单支股票VaR标识观测数置信水平2005年12月30日VaR（百万元）实际失效天数理论失效天数His+240+524295%0.0301741712His+240+124299%0.04465722His+480+524295%0.0282161812His+480+124299%0.04131342His+720+524295%0.0264861612His+720+124299%0.04065742风险值与相关检验结果如下：注：标识中，第一项His表示历史模拟法，第二项240,480,720表示用来做历史模拟的观测数，第三项5，1表示以％为单位的显著水平（1-置信水平）。协方差矩阵法实现程序本部分利用协方差矩阵法计算2005年全部交易日的风险值VaR，其值等于相应交易日的波动率乘以一个相应的系数。图15.5给出了本部分计算的结构。Macrosma(days,prob,aa)：波动率简单加权移动平均(SMA)方法计算。加权平均的滞后期为days天，VaR对应的分位数为prob。Macroewma(lemda,prob,aa,bb)：假设波动率正态分布；采用指数加权移动平均(EWMA)方法。指数加权移动平均的参数为lemda，VaR对应的分位数为prob。期望值假设为0期望为简单平均Sma201Sma205Sma601Sma605Sma201Sma205Sma601Sma605ewma941ewma945ewma971ewma975bt_smabt_sma1bt_ewmagarch1garch5bt_garchMacrogarch(prob,aa)：假设波动率正态分布；采用GARCH模型。VaR