用FFT计算无穷积分原理

1用FFT计算无穷积分原理徐文豪实现公式的过程中，我们往往会遇到计算无穷积分的情况。如果被积函数有简单原函数，如xe等，那当然很简单；又或者被积函数虽然没有原函数，但已经通过数分或复变等计算出来它的值也可以直接用，例如2xedx(1)sin()xdxx(2)而对于没有简单原函数且数分或复变未给出值的无穷积分，如果它们能通过某种方式（例如帕塞瓦尔等式）转化为类似傅里叶变换的形式，我们也可以通过FFT来计算它们。例如对定义在(,)的函数()sx，我们可能需要计算如下积分：()ixsxedx(3)在（3）中，如果()sx不是有限信号也不是周期信号，显然我们不可能计算它的值，因为我们不可能在无穷处对()sx进行采样。若()sx是周期信号，则我们可以计算式（3）的值，不妨设其周期为T，则式（3）可以转化为0lim()TiwxNNsxedx(4)这导致积分的值不是0就是正负无穷，而这是没有实际意义的。因此，为了使式（3）有意义，我们要求()sx是有限信号，不妨设()sx只在[,]ab区间的值可能不为0。为了离散公式推导的简便性，我们对式（3）进行一次变量替换，令xya，则式（3）的积分变为()iaiwyesyaedy(5)现在我们对()sya进行离散采样，取离散采样间隔为t，采样得到的无穷序列为ns（()nssant，iZ），则is对应的完全离散傅里叶级数为intnntse(6)由奈奎斯特采样定律，设()sx的截频为cf，若采样间隔t满足下式：12cft(7)则式（6）和式（3）是完全相等的，这样我们就将连续积分的问题转换为级数求和的问题了，又因为()sx是有限信号，不妨设()/1Nbat，则式（6）可以转换为10Nintnntse(8)2若我们只需求积分在某些的值，则取/()mNt，0,,1mN，则式(8)可以转换为210NinmNnntse(9)而式（9）既可以通过FFT快速计算。总而言之，我们可以用FFT快速计算有限信号的离散频谱。