八年级下册----二次根式压轴题解析

第1页（共14页）二次根式压轴题（八下学完才能用）一．选择题（共1小题）1．（2003•杭州）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A．只有①错误，其他正确B．①②错误，③④正确C．①④错误，②③正确D．只有④错误，其他正确二．填空题（共11小题）2．（2012•山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是．3．（2010•鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，则AB=．4．（2010•拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有对．5．（2010•澄海区校级模拟）化简=．6．（2009•兴化市模拟）若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=．7．（2009•琼海模拟）化简二次根式的正确结果是．8．（2008•贵港）观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：=．9．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=．第2页（共14页）10．（1998•杭州）已知，则=．11．（1998•内江）已知ab=2，则的值是．12．（1997•内江）已知1＜x＜2，，则的值是．三．解答题（共4小题）13．（2012•巴中）先化简，再求值：（﹣）•，其中x=．14．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：==；（一）=（二）==（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：=（四）（1）请用不同的方法化简．①参照（三）式得=（）；②参照（四）式得=（）（2）化简：．15．（2008•凉山州）阅读材料，解答下列问题．例：当a＞0时，如a=6则|a|=|6|=6，故此时a的绝对值是它本身；第3页（共14页）当a=0时，|a|=0，故此时a的绝对值是零；当a＜0时，如a=﹣6则|a|=|﹣6|=﹣（﹣6），故此时a的绝对值是它的相反数．∴综合起来一个数的绝对值要分三种情况，即，这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式的各种展开的情况；（2）猜想与|a|的大小关系．16．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．第4页（共14页）二次根式压轴题（八下学完才能用）参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2003•杭州）对于以下四个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边的长是5；②（）2=a；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，正确的说法是（）A．只有①错误，其他正确B．①②错误，③④正确C．①④错误，②③正确D．只有④错误，其他正确考点：二次根式的性质与化简；点的坐标；全等三角形的判定；勾股定理．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：①应明确边长为4的边是直角边还是斜边；②隐含条件a≥0，根据二次根式的定义解答；③根据每个象限内点的符号特点判断出a、b的符号，再判断出﹣a、﹣b的符号即可；④用“倍长中线法”可证明两个三角形全等．解答：解：①错误，应强调为直角三角形的两条直角边长为3与4，则第三边的长是5；②正确，隐含条件a≥0，根据二次根式的意义，等式成立；③正确，若点P（a，b）在第三象限，则a＜0，b＜0；则﹣a＞0，﹣b＞0，点Q（﹣a，﹣b）在第一象限；④正确，作辅助线，倍长中线，可证明两个三角形全等．故选：A．点评：本题考查了对勾股定理的理解，二次根式的化简，点的对称性质，全等三角形的判定方法．二．填空题（共11小题）2．（2012•山西模拟）若规定符号“*”的意义是a*b=ab﹣b2，则2*（）的值是4﹣5．考点：二次根式的混合运算．菁优网版权所有专题：压轴题；新定义．分析：先理解“*”的意义，然后将2*（）表示出来计算即可．解答：解：由题意得：2*（）=2×（﹣1）﹣=4﹣5．故答案为：4﹣5．点评：本题考查二次根式的混合运算，难度不大，注意理解“*”的意义．3．（2010•鄂州）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6+6，则AB=12．第5页（共14页）考点：二次根式的应用；等腰三角形的性质；垂径定理；解直角三角形．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：作辅助圆A，由已知证明△ABC为等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，作CF⊥BD，将△BCD分为两个直角三角形，解直角三角形，列方程求解．解答：解：法一：以点A为圆心，AB为半径画圆，作CF⊥BD，垂足为F，∵AB=AC=AD，∴C、D两点都在⊙A上，∵E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得，AE=EC=BE，AE⊥BC，∴∠BAC=90°，∠BDC=∠BAC=45°，又∵∠BAC=3∠DBC，∴∠DBC=30°，∠CAD=2∠DBC=60°，△ACD为等边三角形，设AB=AC=CD=x，在Rt△ABC中，BC=x，在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，同理，DF=x，由DF+BF=BD，得x+x=6+6解得x=12，即AB=12．法二：作CF⊥BD，垂足为F，∵AB=AC，E是CB的中点，AE=EC∴AE=BE=EC，AE⊥BC，∴∠BAE=∠ABE=45°，∠ACE=∠EAC=45°，∴∠BAC=90°，又∵∠BAC=3∠DBC，∴∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB=15°，∴∠BAD=150°，∴∠CAD=60°，△ACD为等边三角形，设AB=AC=CD=x，在Rt△ABC中，BC=x，在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF=BC=x，同理，DF=x，第6页（共14页）由DF+BF=BD，得x+x=6+6解得x=12，即AB=12．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及圆的相关知识，解直角三角形，列方程求解．4．（2010•拱墅区一模）已知a，b是正整数，且满足也是整数：（1）写出一对符合条件的数对是（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、（540，135）；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对．考点：二次根式的性质与化简．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：把2放在根号下，得出+，是整数，a、b的值进行讨论，使和为整数或和为整数，从而得出答案．解答：解：（1）∵=+，∴当a、b的值为15，60，135，240，540时，当a=15，b=15时，即=4；当a=60，b=60时，即=2；当a=15，b=60时，即=3；当a=60，b=15时，即=3；当a=240，b=240时，即=1；当a=135，b=540时，即=1；当a=540，b=135时，即=1；故答案为：（15，15）、（60、60）、（15，60）、（60，15）、（240，240）、（135，540）、第7页（共14页）（540，135）；（2）所有满足条件的有序数对（a，b）共有7对，故答案为7．点评：本题考查了二次根式的性质和化简，解决此题的关键是分类讨论思想，得出a、b可能的取值．5．（2010•澄海区校级模拟）化简=2．考点：二次根式的性质与化简．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：先将1﹣4x+4x2化成（1﹣2x）2，再根据（）2有意义，即可求得x的取值范围，从而化简得出结果．解答：解：∵（）2有意义，∴2x﹣3≥0，∴x≥1.5，∴2x﹣1≥3﹣1=2，∴=﹣2x+3=2x﹣1﹣2x+3=2，故答案为2．点评：本题考查了完全平方公式和二次根式的化简和求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•兴化市模拟）若实数a满足|a﹣8|+=a，则a=74．考点：二次根式有意义的条件．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由可得a≥10，再对式子进行化简，从而求出a的值．解答：解：根据题意得：a﹣10≥0，解得a≥10，∴原等式可化为：a﹣8+=a，即=8，∴a﹣10=64，解得：a=74．点评：二次根式中被开方数为非负数，是解此题的突破口．第8页（共14页）7．（2009•琼海模拟）化简二次根式的正确结果是．考点：二次根式的性质与化简．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：根据二次根式的性质及定义解答．解答：解：由二次根式的性质得﹣a3b≥0∵a＜b∴a＜0，b＞0∴原式==﹣a．点评：解答此题，要弄清以下问题：1、定义：一般地，形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．2、性质：=|a|．8．（2008•贵港）观察下列等式：，，，…请你从上述等式中找出规律，并利用这一规律计算：=2006．考点：分母有理化．菁优网版权所有专题：压轴题；规律型．分析：所求代数式第一个括号内可由已知的信息化简为：+…+=，然后利用平方差公式计算．解答：解：∵，，，…∴原式=（+…+）（）=（）（）=2008﹣2=2006．故本题答案为：2006．点评：解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的抵消规律．9．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=﹣2．考点：二次根式的性质与化简．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：根据二次根式的性质化简．第9页（共14页）解答：解：∵原式=﹣=﹣又∵二次根式内的数为非负数∴a﹣=0∴a=1或﹣1∵a＜0∴a=﹣1∴原式=0﹣2=﹣2．点评：解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．10．（1998•杭州）已知，则=13．考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有专题：压轴题；换元法．分析：用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．解答：解：设m=，n=，那么m﹣n=2①，m2+n2=+=34②．由①得，m=2+n③，将③代入②得：n2+2n﹣15=0，解得：n=﹣5（舍去）或n=3，因此可得出，m=5，n=3（m≥0，n≥0）．所以=n+2m=13．点评：本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．11．（1998•内江）已知ab=2，则的值是．考点：二次根式的化简求值．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a＞0，b＞0；a＜0，b＜0．解答：解：当a＞0，b＞0时，原式=；当a＜0，b＜0时，原式=﹣﹣=﹣2．点评：此题的难点在于需考虑两种情况．第10页（共14页）12．（1997•内江）已知1＜x＜2，，则的值是﹣2．考点：二次根式的化简求值．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：由于（）2=x﹣1﹣2+=x+﹣3，又∵，由此可以得到（）2=4，又由于1＜x＜2，由此可以得到的值＜0，最后即可得到的值．解答：解：∵（）2=x﹣1﹣2+=x+﹣3，又∵，∴（）2=4，又∵1＜x＜2，∴＜0，∴=﹣2．故填：﹣2．点评：此题解题关键是把所求代数式两边平方，找到它和已知等式的联系，然后利用联系解题．三．解答题（共4小题）13．（2012•巴中）先化简，再求值：（﹣）•，其中x=．考点：二次根式的化简求值；分式的化简求值．菁优网版权所有专题：压轴题；分类讨论．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：原式=•，当x=时，x+1＞0，可知=x+1，第11页（共14页）故原式=•===；点评：本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关