用不动点定理研究方程解的存在性pdf

第13卷第2期琼州大学学报2006年4月28日Vo.l13No.2JournalofQiongzhouUniversityApr.28.2006用不动点定理研究方程解的存在性黄敏(琼州大学数学系,海南五指山572200)摘要:介绍常用的不动点定理,并给出它在方程中有关解的存在问题的应用实例.关键词:不动点定理;方程;根;存在性;解中图分类号:O177.91文献标识码:A文章编号:1008-6722(2006)02-0003-030引言在自然界及生活中,有许多实际问题可以用数学方程来表示.判断方程是否有解可以转化为某一空间X上的自映射是否有不动点这一抽象的问题.这里给出一些应用不动点定理来判断方程解的存在性.1基本定理定理1(Banach不动点定理)设(X,ρ)是一个完备的距离空间,T是(X,ρ)到其自身的一个压缩映射,则T在X上存在唯一的不动点.定理2(Brouwer不动点定理)设B是Rn中的闭单位球,又设T:B→B是一个连续映射,那么T必有一个不动点x∈B.定理3(Schauder不动点定理)设C是B*空间X中的一个闭凸子集,T:C→C连续而且T(C)列紧,则T在C上必有一个不动点.定理4:若函数f(x)在[a,b]上连续,而且函数值的集合也是[a,b],则至少存在一点x0∈[a,b],使得f(x0)=x0,即至少有一个不动点.定理5:如果F(x)=x-f(x)是有界函数,特别地,当lim(x-f(x))+∞时,方程f(x)=0至少有一个根.x→∞2应用实例设f(x)为函数空间R上的连续函数,x0∈R,如果f(x0)=0,则称x0为方程f(x)=0的根.判断方程f(x)=0是否有根的问题可以看成R→R的映射F(x)=x-f(x)的不动点问题,即求x0∈R满足F(x0)=x0.于是可知定理4实质上说明了方程F(x)=x-f(x)=0的根的存在问题.由定理4推出定理5,定理5直接给出了判断方程根的存在的方法.例1证明方程x+ln(x2+1)2=0存在根.2sinx+x证明:令f(x)=x+ln(1+x22),那么2sinx+xln(1+x2)ln(x2+1)F(x)=x-f(x)=x-x-=-,可得F(x)在R上有界,从而limFx=222sinx+x2sinx+xx→∞()收稿日期:2006-02-28作者简介:黄敏(1980–),女,海南文昌人,琼州大学数学系助教,海南大学信息科学技术学院通信与信息系统专业2006级在职硕士研究生.4琼州大学学报(第13卷)2006lim-ln(1+x2)=+∞,由定理5可得方程x+ln(1+x22)=0有根.2x→∞x2sinx2sinx+x+以上例子说明了不动点问题可以解决一元代数方程的根的存在问题。下面,考虑用不动点问题解决微分方程的解的存在问题.例2设f(t,x):R×R→R,在[-h,h]×[ξ-b,ξ+b]上连续,考察T:c[-h,h]∉B(ξ,b)→c[-h,h],定义:(Tx)(t)=ξ+∫tf(τ,x(τ)dτ,断言:h0,使得T(B(ξ,b))B(ξ,b)0x′(t)=f(t,x(t))证明:x(0)=ξ有解.证:∵f(t,x)连续,所以f(t,x)有界,即|f(t,x)|≤M,而且‖Tx-ξ‖c[-h,h]tf≤Mh,故当h≤b时,‖Tx-ξ‖c[-h,h]≤b,所以Tx∈B(ξ,b),对于x∈B(ξ,xd(τ,(τ))τc[-h,h]M∫0=b),∫t′t,t′∈[-h,h],|Tx(t)-Tx(t′)|=tf(τ,x(τ))dτ≤M|t-t′|,所以T((ξ,b))是等度连续的.B|Tx(t)|≤∫0+|ξ|≤Mh+|ξ|,所以T(B(ξ,b))一致有界.由定理3(Schauder不动点定tfxd(τ,(τ))τ理),T存在不动点x0(t)∈(ξ,b),x0=Tx0,即x0是x′(t)=f(t,x(t))的解.Bx(0)=ξ在上面的证明过程中,只要求f(t,x)连续,不要求对X满足Lipschitz(李普希兹)条件,从而放宽了判断x′(t)=F(t,x)条件.所以求常微分方程的初值问题:x(0)=ξ(或它的等价形式),即求连续函数x(t)满足x(t)=∫0ξ+tF(τ,x(τ))dτ积分方程问题的解,也可看成是一个不动点问题.∫0例3对于积分方程x(t)-λ1et-sx(s)ds=y(t),其中y(t)∈c[0,1]为一给定函数,λ为常数,|λ|1,求证存在解x(t)∈c[0,1].∫0证明:令Tx(t)=λ1et-sx(s)ds+y(t),则x1(t),x2(t)∈c[0,1],有∫0∫0Tx1(t)-Tx2(t)=λ1t-s[x1(s)-x2(s)]ds,kx1kx2k1t-s[x1(s)-x2(s)]ds,e假设T(t)-T(t)=λe则∫0∫0∫0Tk+1x1(t)-Tk+1x2(t)=λ1et-s[Tkx1(s)-Tkx2(s)]ds=λ1et-sλk1es-τ[x1(τ)-x2(τ)]dτds∫0∫0∫0k+111t-τk+11t-τ=λe[x1(τ)-x2(τ)]dτds=λe[x1(τ)-x2(τ)]dτλk+1∫1et-s[x1(s)-x2(s)]dτ0由数学归纳法原理:n∈N,有Tnx1(t)-Tnx2(t)=λn∫1et-s[x1(s)-x2(s)]ds,可得0∫0∫0|Tnx1(t)-Tnx2(t)|=|λn1et-s[x1(s)-x2(s)]ds|≤|λn|1et-s|x1(s)-x2(s)]|ds∫0n1t-s(t)n-1t1])≤|λ|edsmax|x1-x2(t)|=|λ|(1-e)eρ(x1,x2)(t∈[0,≤|λ|n(e-1)ρ(x1,x2)第2期黄敏:用不动点定理研究方程解的存在性5而|λ|1,故必存在充分大的m∈N,使得θ=|λ|m(e-1)1,可得|Tmx1(t)-Tmx2(t)|≤θρ(x1,x2),0θ1,故Tm为压缩映射,从而有不动点x(t)∈c[0,1].故可证.参考文献:[1]张恭庆,林源渠.泛函分析讲义(上册)[M].北京大学出版社,2003.[2]江泽涵.不动点类理论[M].北京科学出版社,1979.[3]冯艳青.数学分析的不动点问题[J].青海师范大学学报(自然科学版),2001(4).[4]张海.Banach不动点定理的注记及应用[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2005(4).[5]姜秉利.不动点原理及其应用[J].德州学院学报,2005(2).[6]张大中.一个不动点问题的特殊解[J].辽宁大学学报(自然科学版),2005(1).UsingFixPointTheoremtoStudytheExistenceofSolutioninEquationHUANGMin(DepartmentofMathematics,QiongzhouUniversity,WuzhishanHainan572200,China)Abstract:Thethesisintroducessomefrequentlyusedfixpointtheoremsandoffersappliedexamplesintheex-istenceofsolutioninequation.Keywords:fixpointtheorems;equation;root;existence;solution(上接第2页)注:若取g≡1,则G(t)=F(t),k=1,M1=1(b-a),M2=1(b-a)且kP(t)=H(t),则定理b-a34A是定理1的特例,或定理1推广了定理A.参考文献:[1]S.S.Dragomir,TwomappirtgsinConnectiontoHadamard’sinequalities[J],J.math.AnalAppl.,167(1992)49-56.[2]S.S.Dragomir,Y.J.ChoandS.S.Kmi,InequalitiesofHadamard’stypeforLipschitzianmappingsandtheirapplications[J],J.Math.Ana.lApple.,245(2000),489-501.InequalityofHadamard’sTypeforLipschitzFunctionsRENChong-xun(DepartmentofMathematics,QiongzhouUniversity,WuzhishanHainan572200,China)Abstract:InthispapertheLipschitzfunctionsisstudiedfromdefinitionandpropertyofconvexfunction,isestablishedanewinequalitiesofHadamard’stypeforLipscshitzianfunctions,thewell-knownresultsisgeneral-ized.Keywords:convexfunction;Lipschitzfunction;Hadamardinequality