平面向量的坐标表示

1第7章平面向量的坐标表示1.理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量a，与a同向且长度为1的向量叫a的单位向量,a的单位向量是aa；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，a的相反向量是长度相等方向相反的向量a.2.向量的表示方法（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为jyixa，称,xy为向量a的坐标，),(yxa叫做向量a的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3．实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点CBA、、共线ABAC、共线；2【提醒】（1）若0ab则ab为锐角或者0角若0ab则ab为钝角或者角.（2）|ab|＝ab可以用来证明ab.（3）非零向量a，b夹角的计算公式：babacos.(4)|ba|ab.（1）aa；（2）当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，零向量，注意：0a.4．平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过O点作OAa，OBb，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab．（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量cosab叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab＝cosab．规定零向量与任一向量的数量积为0．若1122(,),(,)axybxy，则ab＝1212xxyy．（3）向量的数量积的几何意义：cosb叫做向量b在a方向上的投影(θ是向量a与b的夹角)．ab的几何意义是，数量ab等于模a与b在a上的投影的积．（4）向量数量积的性质：设a与b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角．当a与b同向时，ab＝ab；当a与b反向时，ab＝-ab,cos＝abab;⑸|ba|≤ab．（5）向量数量积的运算律：3⑴ab＝abc；⑵ab＝ab＝ab⑶abc＝acbc5.平面向量的基本定理：如果1e和2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1122ee，1e、2e称为一组基底.6．向量的运算：（1）几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,ABaBCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；②向量的减法：用“三角形法则”：设,ABaACb，那么abABACCB由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：ababab．（2）坐标运算：设1122(,),(,)axybxy，则：①向量的加减法运算：ab1212,xxyy；②实数与向量的积：1111,,axyxy；③若1122(,),(,)AxyBxy，则2121,ABxxyy，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；④平面向量数量积：ab=1212xxyy；⑤向量的模：222222||,||axyaaxy；7．向量的运算律：（1）交换律：abba，aa)()(，ab=ab；(2)结合律：cbacba)()(，)(cbacba；（3）分配律：aaa)(，baba)(，cbcacba)(.8.向量平行(共线)的充要条件：(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是ba；实数λ是唯一存在的，当a与b同向时，0；当a与b异向时，0；(2)若11,axy,22,bxy，则//ab1212xyyx22)()(baba．提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到122311...nnnAAAAAAAA（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）4向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2）ababab，特别地，当ab、同向或有0abababab；当ab、反向或有0abababab；当ab、不共线ababab(这些和实数比较类似).（3）在ABC中，①若112233,,,,,AxyBxyCxy，则其重心的坐标为123123,33xxxyyyG.②13PGPAPBPCG为ABC的重心，特别地0PAPBPCP为ABC的重心；③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；④向量0ABACABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；⑤OAOBOCO是ABC的外心；（4）向量PAPBPC、、中三终点ABC、、共线存在实数、使得PAPBPC且1.9．向量垂直的充要条件：0ababba=ba12120xxyy．7.1向量的坐标表示及其运算例题精讲【例1】已知12,GG分别是△ABC和△ACD的重心，G是12GG的中点，若A,B,C,D的坐标分别是0,02,5,5,7,10,2，求点G的坐标．5【例2】已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP=OA+tAB，求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限?（2）四边形OABP能否构成平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．过关演练1．已知)2,(xA，)2,5(yB，若(4,6)AB，则yx,的值分别为_________．2．已知向量)7,2(xa，)4,6(xb，若ba，则x_________．3．已知平行四边形ABCD的顶点)2,1(A、)1,3(B、)6,5(C，则顶点D的坐标为_________．4．若向量)2,3(a，)1,0(b，则向量ab2的坐标是_________．5．若)3,2(a，)1,4(yb，且ba//，则y等于_________．6．若M为ABC的重心，则下列各向量中与AB共线的是（）A．ABBCACB．AMMBBCC．AMBMCMD．AMAMAMAC7．在矩形ABCD中，3AB，1BC，则向量ABADAC的长度等于（）A．2B．23C．3D．48．在ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，已知D点坐标为)2,1(，E点坐标为)5,3(，F点坐标为)7,2(，则点A坐标为____________．9．已知)2,1(a，)1,(xb，当ba2与ba2共线时，x的值为____________．10．当m______时，向量)1,2(ma与)6,2(mb共线且方向相同；当m_____时，a与b共线且方向相反．11．若三点)1,1(A，)4,2(B，)9,(xC共线，则x____________．12．设)2,1(a，)1,1(b，)2,3(c，用a、b作基底有bqapc，则p______，q________．613．已知点),(yxM在向量(1,2)OP所在的直线上，则yx,所满足的条件是___________．14.已知12(4,3),(2,6)PP,(1)若点P在线段12PP上,且122PPPP则点P的坐标是;(2)若点P在线段12PP的延长线上,且124PPPP则点P的坐标是;(3)若点P在线段21PP的延长线上,1245PPPP则点P的坐标是;(4)若点P在线段21PP的延长线上,11245PPPP,则点P的坐标是.15．下列四个命题：①若0ab，则0a或0b；②若e为单位向量，则aae；③3aaaa；④若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．其中错误命题的序号是___________．16．已知)0,0(O、)2,1(A、)5,4(B，且OPOAtOB，则当t________时，点P落在x轴上．17．已知a，b是两个非零向量，则“a，b不共线”是“abab”的____________．18．下列四个命题中是真命题的有____________个．①若ba与ba是共线向量，则a与b也是共线向量②若||||||baba，则a与b是共线向量③若||||||baba，则a与b是共线向量④若||||||||baba，则b与任何向量都共线19.在ABC中,设向量,CAaCBb，则ABC的面积ABCS=,ABC的周长ABCC=.20.对n个向量12,,...,naaa，如果存在不全为零的实数12,nkkk使得1122...0nnkakaka，则称12,,...,naaa性相关.若已知11,1a，23,2a，33,7a是线性相关的，则123::kkk=___________.21.在四边形ABCD中，1,1ABDC，3BABCBDBABCBD，则四边形ABCD的面积是___________.77.2向量的数量积例题精讲【例1】设O是直角坐标原点，jiOBjiOA4,32，在x轴上求一点P，使BPAP最小，并求此时APB的大小.【例2】已知1||,2||ba，且ba,的夹角为4，又baODbaOC2,3，求||CD.注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解【例3】已知锐角ABC中内角,,ABC的对边分别为,,abc,向量(2sin,3),mB2(2cos1,cos2)2BnB,且mn（1）求B的大小，（2）如果2b，求ABC的面积ABCS的最大值.过关演练1．（1）已知2||a，1||b，a与b的夹角为120，则ba__________．（2）已知4||a，1||b，4ba，则向量a与b的夹角为_