第一章因式分解

因式分解（1）目标：1、理解因式分解的概念和意义2、认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。一、看谁算得快：1、若a=101,b=99,则a2-b2=___________；2、若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=____________；3、若x=-3,则20x2+60x=____________。观察以上结果，请每题答得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。a2-b2=(a+b)(a-b)，a2-2ab+b2=(a-b)2，20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？)因式分解：也叫分解因式。(a+b)(a-b)=a2-b2,(a-b)2=a2-2ab+b2，20x(x+3)=20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？二、、因式分解与整式乘法的关系：因式分解结合：a2-b2=========（a+b）（a-b）整式乘法说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。三、轻松练习1、下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什(1)x2-3x+1=x(x-3)+1；(2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)；(3)2m(m-n)=2m2-2mn；(4)4x2-4x+1=(2x-1)2；(5)3a2+6a=3a（a+2）；(6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x；(7)k2+21k+2=（k+k1）2；2、解方程：（1）012x（2）x2–5x=03、4、6、14的最大公因数是。4、分解因式（1）42x（2）5xx2当堂达标一、下列各式从左到右的变形是分解因式的是（）。A．a（a－b）＝a2－abB．a2－2a＋1＝a（a－2）＋1C．x2－x＝x（x－1）D．x—2=x（1—x2）二、把下列多项式分解因式1、92x2、122xx三、36和60的最大公因数是。四、解方程：（1）x2–81=0（2）x2+3x=0思维拓展1.若x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m=,n=2．填空：x2-8x+m=(x-4)(),且m=因式分解（2）目标：1、在具体情境中认识公因式2、通过对具体问题的分析及逆用分配律，理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式一、如下图，一块菜园由两个长方形组成，这些长方形的长分别是3.8m,6.2m,宽都是3.7m,如何计算这块菜园的面积呢？3.8列式：3.7有简便算法吗?3.76.2在这一过程中,把3.7换成m,3.8换成a,6.2换成b,于是有:ma＋mb=m(a＋b)公因式：。（1）多项式ab-b2各项的公因式是。（2）多项式4x2y-6xy2z各项的公因式。正确地寻找确定公因式的方法1、公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）2、字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幂二、找公因式1、ax+ay-a2、5x2y3-10x2y3、24abc-9a2b24、m2n+mn25、x(x-y)2-y(x-y)三、轻松练习1、分解因式（1）、xxyx352（2）、aa642（3）、zxyyx242128（4）、2mn-6m2n2+14m3n3注意：添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要变号。2、计算：7.6×200.2﹢4.3×200.2–1.9×200.23、先因式分解再求值：已知a﹢b=3，ab=25，求代数式a2b﹢2a2b2+ab2的值；四、达标练习：1．下列各式得公因式是a得是（）A．ax＋ay＋5B．3ma－6ma2C．4a2＋10abD．a2－2a＋ma2．－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（）A．－3xB．3xzC．3yzD．－3xy3、多项式18xn+1－24xn的公因式是_______。4、分解因式(1)、yxyyx1518122(2)、xxx2323(3)、yyxy253(4)3222231046nmnmnm拓展题1、利用分解因式方法计算：（1）39×37-13×34（2）29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×142、分解因式：21aaaxxx=。因式分解(3)学习目标：1、在具体情境中认识公因式，了解公因式是多项式。2、对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法并能熟练地运用提取公因式法分解因式。一、复习指出下列各多项式中各项的公因式⑴ax+ay-a⑵5x2y3-10x2y⑶24abc-9a2b2⑷m2n+mn2⑸x(x-y)2-y(x-y)二、轻松练习：1、把下列各式进行因式分解。（1）、)2(3)2(xxx（2）、)2(3)2(xxx（3）、22))(())((abcabaca(4)、3（a-1）2-a+12、A=32008－4×32007+10×32006能被7整除吗？说明你的理由。三、自测1、)()(yxxyxy2、)()(xyxyxy3、22)()(xybyxa4、33)()(xybyxa四、提公因式的方法：⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时）⑵字母取各项的相同字母或相同的多项式，且各字母或相同的多项式的指数取最低次幂当n为_____时，（a－b）n＝（b－a）n；当n为______时，（a－b）n＝－（b－a）n。（其中n为正整数）五、达标练习：(一)把下列多项式进行因式分解：1、)(5)(3nmbnma2、)(5)(3mnbnma3、)1)(1(2xxx+)1)(1(2xxx4、a（x-y）3+b（y-x）3+（x-y）拓展题：1、因式分解：10a（a-b）-8b（b-a）2、利用分解因式方法计算：（1）39×37－13×34（2）29×19.99+72×19.99+13×19.99－19.99×14因式分解(4)目标：1、经历平方差公式的产生过程，会用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式2、认识a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2之间区别联系3、体验换元思想，用符号表示公式的意义，形成初步的符号感。一、说一说1、平方差公式是什么样子?2、如何把252x因式分解？252x==；像上述例子那样，把乘法公式从左到右地使用，可以把某些类型的多项式因式分解，这种方法叫作公式法。二、例题学习。把下列多项式因式分解。1、224yx2、224925yx3、22)1()(yxyx4、a2（x-y）+b2（y-x）三、轻松练习，把下列多项式分解因式。1、2241ba2、2225981nm3、22)2()(baba4、22169251yx上述的多项式都可用平方差公式分解因式，它们有什么共同点，可以转化两数的平方差，而且这两数可以是单项式，也可以是多项式。若部分学生理解有困难，不妨把两数用符号“□”和“△”表示，那么公式形象地表示为：□2－△2=（□+△）（□－△）四、达标练习：1、下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由（1）4x2+y2（2）4x2－（－y）2（3）－4x2－y2（4）－4x2+y2（5）a2－4（6）a2+32、下列各式中不能用平方差公式分解的是（）A，-a2+b2B，-x2-y2C，49x2y2-z2D16m4-25n23、分解因式（1）25x2－4（2）121－4a2b2（3）－91+4x2（4）22)()(xyyx拓展题：1、因式分解：（1）22)(25)23(16nmnm（2）xx432、计算（1）19992－1998×2000（2）25×2652－1352×25因式分解(5)目标：1、经历平方差公式的产生过程，会用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式2、认识a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2之间区别联系一、自学，把下列多项式分解因式：1、44yx2、523xyx3、2mnm(探究)4、52x（在实数范围内进行因式分解）二、轻松练习：1、41611x2、22)(cba3、422bba4、32a（在实数范围内进行因式分解）5、22169baba6、4)4)(2(2xxx三、达标练习：;1、选择题：（1）下列各题中，分解因式错误的是（）A.21(1)(1)xxx;B、22(2)(2)(2)yxyxyxC、228164(98)(98)xyxyxy;D.214(12)(12)yyy（2）若n为正整数，（n+11）2-n2的值总可以被k整除，则k等于（）A，11B，22C，11或22D，11的倍数（3）yxyx22是下列哪个多项式分解的结果（）A、224yxB、224yxC、224yxD、224yx2、把下列多项式分解因式（1）xyyyxx（2）、916222zyx（3）814x（4）、222)21()2(bba3、用简便方法计算(拓展题)（1）计算：2199319931993199119931992222（2）因式分解：b2－(a+b－c)2因式分解(6)学习目标：1、会判断多项式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法。2、灵活运用完全平方公式分解因式。一、自学完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2a2－2ab+b2=（a－b）2这就是说：“两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的两倍，等于这两个数的和(或差)的平方。”一、例题学习：1、把下列多项式分解因式。（1）962xx（2）41292xx（3）229124yxyx（4）936362xx2、已知︱2yx︱+222(yxyx）=0，求yx2的值；3、已知36412mxx是完全平方式，求m的值；二、轻松练习：1、42552xx2、924162yy3、91322xx4、4224363yyxx三、达标练习：1、按要求填表多项式是否是完全平方式a、b各表示什么表示（a+b）2或（a－b）2x2－6x+9是a表示x，b表示3（x－3）24y2+4y+142441aax2+2x+411+m+41m24y2－12xy+9x2（2x+y）2－6（2x+y）+92、因式分解：（1）25102mm（2）－x2+4xy－4y2（3）3ax2+6axy+3ay2（4）36)(12)(2yxyx拓展题：1.若x2+2(m-3)x+16,是一个完全平方式，那么m=；2.已知a，b满足等式1)2()1(2baaa，求bababa424422的值。因式分解(7)学习目标：1、会判断多项式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法。2、灵活运用完全平方公式多种方法去分解因式。一、自学1、完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2a2－2ab+b2=（a－b）2这就是说：“两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的两倍，等于这两个数的和(或差)的平方。”2、分解因式(1)2242bbaa(2)1224xx二、轻松练习1、811824xx2、924162yy3、xxx27183234、222164xx5、49142yxyx三、达标练习：一、把下列多项式因式分解：1、4224168yyxx2、4424xx3、42234363yxyxx4、2)(9)(124yxyx(拓展题)1、(m2+n2)2-4m2n22、已知：051249422baba，求a、b的值。因式分解(8)目标：1、能用分组分解法把分组后可以直接提公因式的方法进行因式分解。2、灵活地运用