第一章导数与定积分单元测试文档

1abxy)(xfy?=Oabxy)(xfy?=O高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．已知f(x)＝x2，则f′(3)＝()．A．0B．2xC．6D．98．下列结论①(sinx)′＝－cosx；②1x′＝1x2；③(log3x)′＝13lnx；④(lnx)′＝1x.其中正确的有()．A．0个B．1个C．2个D．3个1.满足()()fxfx=的函数是A.f(x)＝1－xB.f(x)＝xC.f(x)＝0D.f(x)＝12.曲线34yxx=在点（－1，－3）处的切线方程是A.74yx=B.72yx=C.4yx=D.2yx=3.若关于x的函数2mnymx=的导数为4yx=,则mn的值为A.3B.1C.1D.34.设lnyxx=，则此函数在区间(0,1)内为A．单调递增，B.有增有减C.单调递减，D.不确定6．函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是A.1，－1B.3，-17C.1，－17D.9，－197．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则Af(x)=g(x)Bf(x)－g(x)为常数函数Cf(x)=g(x)=0Df(x)+g(x)为常数函数8.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf在),(ba内的图象如图所示，则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点A1个B2个C3个D4个8．设)(),(xgxf分别是定义在R上的奇函数和偶2函数，()0,gx，当0x时，()()()()0,fxgxfxgx且(3)0,f=则不等式()/()0fxgx的解集是（）A．),3()0,3(B．)3,0()0,3(C．),3()3,(D．)3,0()3,(9.如图，直线l和圆C，当l从0l开始在平面上绕O点按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是（）.3．|sinx|dx等于()．A．0B．1C．2D．49．设函数()fx在定义域内可导，()yfx=的图象如图1所示，则导函数()yfx=可能为（）9．由直线y＝x，y＝－x＋1及x轴围成平面图形的面积为()．10．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)0，且(3)0g=，则不等式f(x)g(x)0的解集是A.(－3，0)∪(3，+∞)B.(－3，0)∪(0，3)xyOAxyOBxyOCyODxxyO图13C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D.(－∞，－3)∪(0，3)11.给出以下命题：⑴若()0bafxdx，则f(x)0；⑵20sin4xdx=;⑶已知()()Fxfx=，且F(x)是以T为周期的函数，则0()()aaTTfxdxfxdx=；其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.012.已知函数2()fxxbx=的图象在点(1,(1))Af处的切线的斜率为3，数列)(1nf的前n项和为nS,则2011S的值为（）20122011.20112010.20102009.20092008.DCBA二.填空题（每题5分，共20分）14．若(x－k)dx＝32，则实数k的值为________．★1、已知22sinfxxx=，则'0f=★2、若sinxfxex=，则'fx=★3.)(xf=ax3+3x2+2，4)1(=f，则a=（）319.316.313.310.DCBA★★4.过抛物线y=x2上的点M)41,21(的切线的倾斜角是（）A.30°B.45°C.60°D.90°★★5.如果曲线2932yx=与32yx=在0xx=处的切线互相垂直，则0x=13.若32()33(2)1fxxaxax=有极大值和极小值，则a的取值范围是__14.函数32()26(fxxxmm=为常数）在[22]，上有最大值3，那么此函数在[22]，4上的最小值为_____15.周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为16.已知)(xf为一次函数，且10()2()fxxftdt=，则)(xf=______.三．解答题（共70分）17.(本小题满分10分)已知曲线32yxx=在点P0处的切线1l平行直线4x－y－1=0，且点P0在第三象限.（1）求P0的坐标；（2）若直线1ll,且l也过切点P0,求直线l的方程.15．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.16．(10分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．解函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.5(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x2－x，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx2－x＋a0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝12.18．(12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；(2)若对x∈[－2,3]，不等式f(x)＋32cc2恒成立，求c的取值范围．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意得f′－1＝0，f′2＝0，即3－2a＋b＝0，12＋4a＋b＝0，解得a＝－32，b＝－6.∴f(x)＝x3－32x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.令f′(x)0，解得－1x2；令f′(x)0，解得x－1或x2.∴f(x)的减区间为(－1,2)，增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上单调递增；在(－1,2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增．∴x∈[－2,3]时，f(x)的最大值即为f(－1)与f(3)中的较大者．f(－1)＝72＋c，f(3)＝－92＋c.∴当x＝－1时，f(x)取得最大值．要使f(x)＋32cc2，只需c2f(－1)＋32c，即2c27＋5c，解得c－1或c72.6∴c的取值范围为(－∞，－1)∪72，＋∞.19．(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数的解析式．(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．解f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得f′2＝12a－b＝0，f2＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13，b＝4，故所求函数的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)283－43因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283，当x＝2时，f(x)有极小值－43，所以函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象大致如图所示．7若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－43k283.18．（本小题满分12分）将边长为a的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？19.(本小题满分12分)已知a为实数，))(4()(2axxxf=（1）求导数)(xf；（2）若0)1(=f，求)(xf在[－2，2]上的最大值和最小值；（3）若)(xf在(,2)和(2,)上都是递增的，求a的取值范围.20.(本小题满分12分)已知函数()ln(1)fxxx=．（1）求函数f(x)的单调递减区间；（2若1x，证明：11ln(1)1xxx．21.(本小题满分12分)已知函数()lnfxx=(0)x,函数1()()(0)()gxafxxfx=（1）当0x时,求函数()ygx=的表达式;（2）若0a,函数()ygx=在(0,)上的最小值是2,求a的值;（3）在⑵的条件下,求直线2736yx=与函数()ygx=的图象所围成图形的面积.22．(本小题满分12分)若存在实常数k和b，使得函数()fx和()gx对其定义域上的任意实数x分别满足：8()fxkxb和()gxkxb，则称直线:lykxb=为()fx和()gx的“隔离直线”．已知2()hxx=，()2eln(exx=为自然对数的底数)．（1）求()()()Fxhxx=的极值；（2）函数()hx和()x是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．《导数及其应用》参考答案【理科】一、选择题CDBCBBBADDBD二.填空题13.2a或1a14.3715.400027cm216.()1fxx=三．解答题17.解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.又∵点P0在第三象限,∴切点P0的坐标为(－1,－4).⑵∵直线1ll,1l的斜率为4,∴直线l的斜率为14,∵l过切点P0,点P0的坐标为(－1,－4)∴直线l的方程为14(1)4yx=即4170xy=.18．解：设小正方形的边长为x，则盒底的边长为a－2x，∴方盒的体积2(2)((0,)),2aVxaxx=121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226aaaaaVaxaxVxxxxV=====令则由且对于(,),'0,62aaxV∴函数V在点x＝a6处取得极大值，由于问题的最大值存在，∴V(a6)＝2a327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a6．19.解：⑴由原式得,44)(23axaxxxf=∴.423)(2=axxxf9⑵由0)1(=f得21=a,此时有43)(),21)(4()(22==xxxfxxxf.由0)(=xf得34=x或x=-1,又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(====ffff所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750⑶解法一:423)(2=axxxf的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得,0)2(,0)2(ff即480840aa∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2].解法二:令0)(=xf即,04232=axx由求根公式得:21,21212()3aaxxx=所以.423)(2=axxxf在1,x和,2x上非负.由题意可知,当2x„或2x…时,)(xf≥0,从而12x…,22x„,即612.61222aaaa解不等式组得－2≤a≤2.∴a的取值范围是[2,2].20.解：⑴函数f(x)的定义域为(1,)．()fx＝11x－1＝－1xx