第一章导数及其应用

1、第一章导数及其应用(A)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是()A．(－1,3)B．(－1，－3)C．(－2，－3)D．(－2,3)2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为()A．(－∞，－1)及(0,1)B．(－1,0)及(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)及(1，＋∞)3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2B．3C．4D．54．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为()A．a13B．a≥13C．a13且a≠0D．a≤13且a≠05．一物体在变力F(x)＝5－x2(力单位：N，位移单位：m)作用下，沿与F(x)成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F(x)作的功为()A.3JB.233JC.433JD．23J6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009的值为()A．。

2、－log20102009B．－1C．(log20102009)－1D．17．已知函数f(a)＝ʃa0sinxdx，则ffπ2等于()A．1B．1－cos1C．0D．cos1－18．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是()A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－169．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为()A.827πB.1627πC.89πD.169π10．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为()A．20(sinx－cosx)dxB．240(sinx－cosx)dxC．20(cosx－sinx)dxD．240(cosx－sinx)dx11．用力把弹簧从平衡位置拉长10cm，此时用的力是200N，变力F做的功W为()A．5JB．10JC．20JD．40J12.已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的()二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函。

3、数，则实数a的取值范围是________．14．若a＝22sinxdx，b＝ʃ10cosxdx，则a与b的关系是________．15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为______________．16．由曲线y＝x2，y＝x，y＝3x所围成的图形面积为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设函数f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3处取得极值．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在点A(1,16)处的切线方程．18．(12分)设铁路AB长为50，BC⊥AB，且BC＝10，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4.(1)将总运费y表示为x的函数；(2)如何选点M才使总运费最小？19.(12分)设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(]0，1上的最大值为12，求a的值．20。

4、．(12分)要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？21.(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数的解析式；(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－32x2＋1(x∈R)，其中a0.(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f(x)0恒成立，求a的取值范围．答案1．B[∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.∴M(－1，－3)．]2．A[y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]3．D[f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.]4．C[f′(x)＝3ax2－2x＋1，函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，等价于。

5、f′(x)＝0有两个不等实根，即3a≠0，Δ＝4－12a0.解得a13且a≠0.]5．C[由于F(x)与位移方向成30°角．如图：F在位移方向上的分力F′＝F·cos30°，W＝ʃ21(5－x2)·cos30°dx＝32ʃ21(5－x2)dx＝325x－13x3|21＝32×83＝433(J)．]6．B[∵y′|x＝1＝n＋1，∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.所以log2010x1＋log2010x2＋…＋log2010x2009＝log2010(x1·x2·…·x2009)＝log2010(12·23·…·20092010)＝log201012010＝－1.]7．B[∵f(a)＝(－cosx)|a0＝1－cosa，∴fπ2＝1－cosπ2＝1，∴f(1)＝1－cos1.]8．A9．A[设圆柱横截面圆的半径为R，圆柱的高为h，则2R＋h＝2.∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，∴V′＝2πR(2－3R)＝0.令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝23.经检验，R＝23时，圆柱体积。

6、最大，此时h＝23，Vmax＝π·49·23＝827π.]10．D[如图所示，两阴影部分面积相等，所示两阴影面积之和等于0xπ4阴影部分面积的2倍．故选D.]11．B[设F(x)＝kx，则200＝k·0.1，∴k＝2000，∴W＝ʃ0.102000xdx＝1000x2|0.10＝10(J)．]12．A[∵(－∞，－2)时，f′(x)0，∴f(x)为减函数；同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]13．a≥3解析由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.14．ab解析∵a＝－cosx|22＝－cos2，b＝sinx|10＝sin1.又∵－cos2＝cos(π－2)＝sin(2－π2)．在单位圆中利用三角函数线估算可知ab.15．(－2,15)解析设P(x0，y0)(x00)，由题意知：y′|x＝x0＝3x20－10＝2，∴x20＝4.又∵P点在第二象限内，∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P点的坐标为(－2,15)．16.13317．解(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a.∵f(x)。

7、在x＝3处取得极值，∴f′(3)＝6×9－6(a＋1)×3＋6a＝0，解得a＝3.∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8.(2)A点在f(x)上，由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18，f′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y＝16.18．解(1)依题意，铁路AM上的运费为2(50－x)，公路MC上的运费为4100＋x2，则由A到C的总运费为y＝2(50－x)＋4100＋x2(0≤x≤50)．(2)y′＝－2＋4x100＋x2(0≤x≤50)．令y′＝0，解得x1＝103，x2＝－103(舍)．当0≤x103时，y′0，当50≥x103时，y′0.故当x＝103时，y取得最小值，即当在距离点B为1033时的点M处修筑公路至C时总运费最小．19．解函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝1x－12－x＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝－x2＋2x2－x，所以f(x)的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝2－2xx2－x＋a＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝。

8、a，因此a＝12.20．解由V＝πr2h，得h＝Vπr2.设盖的单位面积造价为a，则储油罐的造价M＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2＝5aπr2＋4aVr，M′＝10aπr－4aVr2，令M′＝0，解得r＝32V5π，∴经验证，当r＝32V5π时，函数取得极小值，也是最小值，此时，h＝Vπr2＝325V4π.∴当rh＝32V5π325V4π＝25时，储油罐的造价最省．21．解f′(x)＝3ax2－b.(1)由题意得f′2＝12a－b＝0f2＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13b＝4，故所求函数的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)Z283]－43Z因此，当x＝－2时，f(x)有极大值283，当x＝2时，f(x)有极小值－43，所以函数f(x)＝13x3－4x＋4的图象大致如右图所示．若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函。

9、数f(x)的图象有3个交点，所以－43k283.22．解(1)当a＝1时，f(x)＝x3－32x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，即y＝6x－9.(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1a.以下分两种情况讨论：①若0a≤2，则1a≥12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，12)f′(x)＋0－f(x)Z极大值]当x∈[－12，12]时，f(x)0等价于f－120，f120，即5－a80，5＋a80.解不等式组得－5a5.因此0a≤2.②若a2，则01a12.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－12，0)0(0，1a)1a(1a，12)f′(x)＋0－0＋f(x)Z极大值]极小值Z当x∈[－12，12]时，f(x)0等价于f－120，f1a0，即5－a80，1－12a20.解不等式组得22a5或a－22.因此2a5.综合①②，可知a的取值范围为0a5.。