计算方法试题集及答案(新)

11.*x为精确值x的近似值；**xfy为一元函数xfy1的近似值；**,*yxfy为二元函数yxfy,2的近似值，请写出下面的公式：**exx：***rxxex*'1**yfxx'***1**rrxfxyxfx**,**,*2**fxyfxyyxyxy****,***,**222rfxyexfxyeyyxyyy2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。3、分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有6位和7位；又取31.73（三位有效数字），则-2131.73102。4、设121.216,3.654xx均具有3位有效数字，则12xx的相对误差限为0.0055。5、设121.216,3.654xx均具有3位有效数字，则12xx的误差限为0.01。6、已知近似值2.4560Ax是由真值Tx经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204.7、递推公式,0nn-1y=2,y=10y-1,n=1,2,如果取021.41y作计算,则计算到10y时,误差为81102;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定.8、精确值14159265.3*，则近似值141.3*1和1415.3*2分别有3位和4位有效数字。9、若*2.71828xex,则x有6位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。10、设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x关于真值229.0x有(2)位有效数字；12、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；213、为了使计算2334610111yxxx的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为199920012。14、改变函数fxxx()1(x1)的形式，使计算结果较精确xxxf11。15、设，取5位有效数字，则所得的近似值x=_2.3150____.16、已知数e=2.718281828...,取近似值x=2.7182,那麽x具有的有效数字是4。二、单项选择题：1、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值2、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。A．6B．5C．4D．73、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A．模型B．观测C．截断D．舍入4、用1+3x近似表示31x所产生的误差是(D)误差。A．舍入B．观测C．模型D．截断5、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A．5B．6C．7D．86、(D)的3位有效数字是0.236×102。(A)0.0023549×103(B)2354.82×10－2(C)235.418(D)235.54×10－17、取31732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（C）(A)28163；(B)2423()；(C)216423()；(D)41631()。三、计算题1.有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限.解：设长方形水池的长为L，宽为W,深为H，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有V=50*25*20=25000(米3)此时，该近似值的绝对误差可估计为3=VVVVLWHLWHWHLHLWLWH相对误差可估计为：rVVV而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足0.01,0.01,0.01LWH故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000rVWHLHLWLWHVVV2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若**0.10.1aabb米，米试求其面积的绝对误差限和相对误差限.解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有s==110*80=8800(米2)此时，该近似值的绝对误差可估计为=bsssababaab相对误差可估计为：rsss而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足0.1,0.1ab故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为80*0.1110*0.119.019.00.0021598800rsbaabsss绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。3、设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差4'1**1****(),(),()()()0.02()nnnnnrrnfxxfxnxxxnxxxxxnnnxx解：由于故故4、计算球体积要使相对误差为1%，问度量半径R允许的相对误差限是多少？解：令343VfRR，根据一元函数相对误差估计公式，得'23431%43RRfRRVRRRfRR从而得1300RR5.正方形的边长大约为100cm，问怎样测量才能使面积的误差不超过1cm2da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即边长a的误差不超过0.005cm时，才能保证其面积误差不超过1平方厘米。6．假设测得一个圆柱体容器的底面半径和高分别为50.00m和100.00m，且已知其测量误差为0.005m。试估计由此算得的容积的绝对误差和相对误差。解：hrV2)*(2*rrrhVV=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325VVV*=2rrr*=0.0002第一章插值法一、填空题：1.设xi(i=0,1,2,3,4)为互异节点，li(x)为相应的四次插值基函数，则4402iiixlx＝(x4+2).2.设xi(i=0,1,2,3,4，5)为互异节点，li(x)为相应的五次插值基函数，则5543021iiiiixxxlx=54321xxx3.已知0]5,4,3,2,1[,2]4,3,2,1[52)(3ffxxf则，4.2f(x)3x1,f[1,2,3]____3_____,f[1,2,3,4]___0______则。5.设则＝3,=056.设和节点则=4.7.设00,116,246,fff则0,116,0,1,27,fffx的二次牛顿插值多项式为0+16(x-0)+7(x-0)(x-1)。8.如有下列表函数:ix0.20.30.4ifx0.040.090.16则一次差商0.2,0.4f=0.6。9、2、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为-2，拉格朗日插值多项式为211232131222Lxxxxxxx,或2298xx10、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f(1),]4,3,2,1,0[f(0)；11、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；12、设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl2xx，)(xf的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2xxxxN。13、)(,),(),(10xlxlxln是以整数点nxxx,,,10为节点的Lagrange插值基函数，则0nkklx=1，0nkjkkxlx=jx，，当2n时)()3(204xlxxkknkk(324xx)。14、设一阶差商，则二阶差商15、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足三阶均差为0，则p(x)是不超过二次的多项式16、若4321()fxxx，则差商2481632[,,,,]f3。6二、单项选择题：1、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-22、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(B))!1()()()()()1(nfxPxfxRnnn(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(D))()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn3、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（A）。（A）二次；（B）三次；（C）四次；（D）五次4、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（D）ix１1.5２2.5３3.5()ifx-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。5、设()ilx是以019(,,,)kxkk为节点的Lagrange插值基函数，则90()ikklk(C)(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。6、由下列数据x01234()fx1243-5确定的唯一插值多项式的次数为(A)(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。三、问答题1.什么是Lagrange插值基函数?它们有什么特性？答：插值基函数是满足插值条件的n次插值多项式，它可表示为并有以下性质，2.给定插值点可分别构造Lagrange插值多项式和Newton插值多项式，它们是否相同？为什么?它们各有何优点？答：给定插值点后构造的Lagrange多项式为Newton插值多项式为它们形式不同但7都满足条件,于是它表明n次多项式有n+1个零点，这与n次多项式只有n个零点矛盾，故即与是相同的。是用基函数表达的，便于研究方法的稳定性和收敛性等理论研究和应用，但不便于计算，而每增加一个插值点就增加一项前面计算都有效，因此较适合于计算。3.Hermite插值与Lagrange插值公式的构造与余项表达式有何异同？答：Hermite插值的插值点除满足函数值条件外还有导数值条件比Lagrange插值复什一些，但它们都用基函数方法构造，余项表达式也相似，对Lagrange插值余项表达式为，而Hermite插值余项在有条件的点看作重节点，多一个条件相当于多一点，若一共有m+1个条件，则余项中前面因子为后面相因子改为即可得到Hermite插值余项。四、计算题1、设7351fxxx,求差商010120170182,2,2,2,2,2,2,,2,2,2,,2ffff解：01227,2169,216705fff，故01120122,2162,2,28268,2,2,22702fff根据差商的性质，得701780182,2,,217!2,2,,208!ffff2、求满足下列条件的埃尔米特插值多项式:':122311iiixyy解：根据已知条件可求得