用矩阵的初等变换求逆矩阵

2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。用矩阵的初等变换求逆矩阵一、问题提出在前面我们以学习了用公式求逆矩阵，但当矩阵A的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？（饿了再吃）二、求逆矩阵方法的推导（“润物细无声”“化抽象为自然”）我们已学习了矩阵初等变换的性质，如1.定理2.4对mxn矩阵A，施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵。2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。3.定理2.5的推论A可逆的充要条件为A可表为若干初等矩阵之积。即4.推论A可逆，则A可由初等行变换化为单位矩阵。（1）由矩阵初等变换的这些性质可知，若A可逆，构造分块矩阵(A︱E)，其中E为与A同阶的单位矩阵，那么（2）由（1）式代入（2）式左边，上式说明分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置变换为单位阵E，原来E的位置变换为我们所要求的1A,即21121111111112112112stssttmPPPAQQQEAPPPPEQQQQRRR11121mRRRAE111121mRRRA122nnnnAEEA1*1AAA1111AAEAAAEEA111121mARRR111121mRRRAEEA三，讲解例题1.求逆矩阵方法的应用之一例解：四，知识拓展2．求逆矩阵方法的应用之二利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A︱E)经过初等行变换，原来A的位置不能变换为单位阵E，那么A不可逆。例解：而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A不可逆。3．求逆矩阵方法的应用之三利用矩阵初等行变换解矩阵方程（“润物细无声”）1112120,113AA设求。112100120010113001AE（）2131rrrr112100032110001101110302030312001101132322rrrr30211012010133001101313r142331001201013300110112rr11423312133101A112122145,41211111AA设求。12121000214501004121001011110001AE（）1212100003692100096940100123100112121000000011030969401001231001对一般的矩阵方程求解，我们可以先求1A，然后求X＝1AB。现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A就是求解矩阵方程的解，而对一般的矩阵方程只要将中的E换成B，然后利用初等行变换，即其中的1AB即为所求矩阵方程的X。例解：五、小结1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、解矩阵方程2.思考：若XA=B，如何用初等变换法求X?贺建辉2007-11-21AXEAXBAXBAE122nnnnABEABAXB123252213134343ABAXBX设，，若，求。123252213134343AB（）1232502519026212102140251900113100320204600113100320102300113132X2313AB