第一章数值计算基本概念

1第1章数值计算基本概念1.1概述关键词：CFD、微分方程离散方程、连续解离散点上的解1.1.1CFD数值流体力学一般称为CFD(ComputationalFluidDynamics),为流体力学的一个重要支柱。CFD即利用离散方法(discretizationmethod),将微分方程简化成代数方程式，通过计算机近似求解流体微分方程的方法。它的解是一些小的空间和时间上的区域上的解，称为离散点。CFD同理论、实验并列。被人注目的理由之一是，它为计算机利用的力学（计算力学）的一面，特别是它为超级计算机的重要利用领域之一。此外，利用高度的图形处理，可将其结果表示非常美丽的图象，对年轻人非常有魅力。因此，流体的数值模拟，在许许多多的领域内得到了利用。有许多人是在对数值计算方法了解的基础上，自己编程进行模拟。也有相当一部分人是用商用程序进行模拟。CFD包括面很广泛，从采用良好的工程设计方法，到详细求解Navier-Stokes方程；从简单流动到非常复杂的流动。简单的可能在几秒时间内就能完成，复杂的需要在最大的超级计算机上用几百个小时才能完成。完美的CFD应满足以下条件：适用任何问题计算速度快能得到精度高且可信度高的结果程序简单，谁都能简单使用记忆容量少其实不然，以上的要求相互矛盾，至今无一程序能满足。提醒：连续介质Navier-Stokes,非连续介质Boltzman1.1.2微分方程的求解方法将连续的数据用离散的数据来记录，称为离散化（discretization）。在离散的点之间用光滑曲线通过内插来连接。这样，即使对于假的离散数据，只要在2头脑内想象成连续的函数即可认为在对微分方程进行求解。这样，只要已知现在的时间和空间，就可根据这些离散数据对想象进行预测。数值流体力学的问题一般是要了解每时每刻流场的变化过程。即对支配方程式进行积分求解。实际上是求空间离散点（网格）上的压力、速度等物理量。图示：离散化、控制方程、压力，速度，温度1.2数值求解方法的基本组成关键词：数学模型、方程离散化方法、坐标、空间离散、网络、求解方法、收敛准则1.2.1数学模型1.控制方程类型（提醒：主导方程、支配方程）基本偏微分方程的形式:（2D）提醒：微分形式和积分形式yxgfedcbayxyyxyxx,（0-1）提醒：空间:x,y时间—空间：t,x;t,x,y对于求解域内的任一点(xo,yo)双曲型方程:042acb,过该点有两条实的特征线如当ac0异号，2222yax，波动方程抛物型方程:042acb,过该点有一条实的特征线如当ac=0，22yat，非稳态导热椭圆型方程:042acb,过该点无实的特征线光滑曲线3如当ac0同号，02222yx，稳态导热i.椭圆型方程相当于平衡问题或稳态问题。影响区域是椭圆的。与时间无关。空间的闭区域。又称为边值问题。例如：稳态导热问题。稳态扩散问题。求解特征：所有点联立求解。用直接法或迭代法。提示：稳态、边值、相互影响ii.抛物型方程时间步进性问题或相当于时间的步进性问题。又称为初值问题。影响区域以特征线为分界线，与主流方向垂直。例如：1D非稳态导热（时间步进）；2D稳态边界层型的流动和换热问题（扩散忽略，主流方向步进）求解特征：从已知的初值开始，逐步推进，依存获得适合定边界的解。求解代数方程的量可为一维的，可节约容量。物理意义：分布与瞬时以前的情况和边界条件相关。（时间步进）下游的分布仅与上游的变化相关（主流步进）xiii.双曲型方程也是步进问题。但依赖区域仅在两条特征区域之间。例如：无粘性流体的非稳态问题；无粘性流体的稳态超音速流动。2.流动类型偏微分方程组或积分方程组及边界条件。必须选择应用的目标：不可压缩可压缩非粘性的粘性湍流层流2维或3维单相多相。。。由此可以选择不同的简化守恒方程。（xo,yo）闭区域边界t,x推进（xo,yo）前一时刻tt+t（xo,yo）t,x41.2.2控制方程的离散化方法(discretizationmethod)i.有限差分法(finitedifferencemethodFDM)微分方程使用网络节点，选择微分的近似方法。将区域离散成有限个网格，通常为结构化网格；选择方程各项的差分形式（Taylor展开）；对每个节点建立差分方程；整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式。提示：网格、微分方程、差分形式、差分方程、代数方程ii.有限体积法(finitevolumemethodFVM)积分方程使用控制体积，选择表面和体积积分的近似方法。将区域离散成有限个控制体积，适用任何形状的网格；选择未知函数对时间和空间的局部分布曲线（线性或曲线分布）；对每个CV进行空间（表面、体积）和时间的积分；整理出关于节点上未知数的代数方程式。特点：适用任何形状的网格，可用复杂几何形状与坐标类型无关提示：网格、积分方程、分布曲线、表面和体积分、代数方程iii.有限单元法(finiteelementmethodFE)选择函数和权重函数。将区域离散成有限个体积或单元（element），2D时通常为三角型或多边型；选择每个单元解的近似函数形式（例如：线性形状函数），与单元角上的值相关；积分权重选择积分方程的权重函数；对每个节点值的积分残差为零，求出离散方程；整理出关于节点上未知数的非线性代数方程式（刚度矩阵）。特点：有限单元法通常适用于不规则的求解区域。提示：网格、积分方程、分布函数、权重函数、积分残差为零、刚度矩阵5iv.频谱法（spectralschemes）v.边界元法(boundaryelementmethods)vi.分区自动化(cellularautomata)不同的方法影响精度，求解问题的难度，编程和调试的难度，计算的速度。精度越高，涉及的网点就越多，系数矩阵就越大，需要的内存就越高，由此不得不使用粗网格，结果反而影响精度。目前一般二阶精度为最佳选择。1.2.3坐标和基本矢量系统Cartesiancoordinatesystem直角坐标系统Cylindricalcoordinatesystem柱坐标系统Sphericalcoordinatesystem球坐标系统Curvilinearorthogonalcoordinatesystem曲线正交坐标系统Non-orthogonalcoordinatesystem非正交坐标系统移动的或静止的选择的方法依赖与目标流动。可能会影响离散方法和网格类型的选择。也可以根据矢量或张量表达的需要，选择坐标系。61.2.4空间区域的离散化i.计算区域(domain)ii.网格(grid)iii.网格线(gridline)iv.格子（cell）v.节点(gridpointer，node,centernode)计算节点（computationalnode,FDM）节点（FVM）vi.控制容积(controlvolume，CV)vii.界面(face)1.2.5数值网格（numericalgrid）i.结构化网格(structuredgrid)或称规则网格(regulargrid)网格线：自己不交，以其它线只交一次。节点可用一组坐标下标唯一表示，例（i,j,k）相邻节点坐标用1表示优点：使用广泛缺点：只适合几何简单的计算区域7ii.块结构化网格(block-structuredgrid)在同一个计算区域上有两种或以上不同标准的网格划分。通常使用的有粗网格、精细网格的粗区域可以是不规则，可以重叠细网格为结构化网格细网格：123456789101112131415粗区域：IIIIIIIViii.非结构化网格(unstructuredgrid)主要用于有限体积法和有限单元法内格子(控制体积或单元)形状任意相邻节点数无限制常用格式形状有：2D：三角形、多边型；3D：蜂窝等，通常格子的生成有专门的格子生成方式(gridgeneration)1.2.6离散方程的求解方法离散化产生一个大的非线性代数方程系统。求解方法取决于问题本身。非稳态流动问题：使用求解初值问题的方法（marchingintime时间步进）,在每一个时间点上，求解一个椭圆问题。稳态流动问题：准时间步进（pseudo-timemarching）法等效迭代方法由于方程是非线性的，通常需要迭代。这些方法对方程使用逐次线性化，产生的线性系统几乎都是采用迭代技术来求解。提示：非线性方程系统、求解方法、问题本身、非稳态、稳态1.2.7收敛准则内迭代：求解线性方程外迭代：处理非线性项，和使方程耦合。何时停止某个迭代从精度和效率来说都是非常重要的。81.2.8数值求解方法的特性提示：有解、解有界、计算收敛1.相容性（consistency）当网格跨度趋近于零时，离散差分方程接近微分方程。截断误差逐渐为零。2.稳定性（stability）不稳定:instability,任何误差不会放大。暂态问题：只要真正解有解，数值解也有界。迭代方法：计算不发散稳定性很难判断，最常用的方法为vonNeumann方法。但是，在求解复杂的非线性的耦合方程的，并具有复杂边界条件的方法往往是很难得到稳定的结果，而需要经验和本能。许多求解方法需要限制时间步长，和采用低松弛。3.收敛性（convergence）divergence;收敛性相容性+稳定性当网格跨度趋近于零时，离散差分方程的解接近微分方程的解。收敛与稳定同样很难判断，往往采用数值实验：逐步精化网格，如方法是稳定而且收敛的，则结果将收敛到一个与网格大小无关的解。4.守恒性（conservation）non-conservation由于求解的方程都是守恒方程，数值结果也应是守恒的。这不仅要保证局部的守恒，也要保证总体的守恒。使用有限体积法或基于严格的守恒形式进行的离散，则可保证每个控制体的守恒。其它离散方法则要充分注意守恒问题。守恒问题在求解方法中是非常重要的特性。非守恒方法会导致人工源（阱）的产生。但非守恒方法有时（如采用极小的网格）能保证相容性和稳定性，而产生正确的解。但一般因采用粗的网格，故建议使用守恒形式。95.真实性（realizibility）对于特别复杂的情况，如湍流、燃烧、多相流动，要考虑能保证求得物理上现实的解。这不一定是数值的问题，可能是模型的问题，是否能真正的描述物理现象。模型的问题也可能导致非物理的解或是数值方法发散。6.精度（accuracy）误差分为：模型误差离散误差收敛误差1.2.9流动基本方程式1.流动守恒定理（ConservationLaws）i.连续性方程(质量守恒方程,continuityequation)sM)tu(（0-2）单位体积的质量流束的散度净量为内部密度的增加速度。用全导数表示：sM)DtDu（0-3）对于不可压缩流体，0DtD。0jxutii.动量守恒方程(momentumequation)守恒形式：fτuuu][][pt（0-4）10左边：运动量的增加速度右边：单位体积内对流引起的动量变化、压力差作的功、粘性引起的动量变化、外力应用连续性方程，生成：非守恒形式：fτu][pDtD（0-5）DtDu为控制体积受到的加速度。对于Newton流体，x方向速度在y方向的变化)322uxuxxx（0-6）)322uyuyyy（0-7）)322uzuzzz（0-8）xuyuyxyxxy（0-9）yuzuzyzyyz（0-10）zuxuxzzxxz（0-11）iii.能量守恒方程(energyequation)流体总能量=内能+动能+势能2ueE)2